Формула замены переменного Свойства неопределённого интеграла

Формула замены переменного.

Пусть имеет смысл сложная функция $f({\varphi}(x))$ , где изменяется на некотором интервале. Тогда

$\displaystyle \int f(u)\,du\Bigl\vert _{u={\varphi}(x)}=\int f({\varphi}(x)){\varphi}'(x)\,dx.$

(В левой части после вычисления интеграла $\int f(u)\,du$ сделана подстановка $u={\varphi}(x)$ .) Для доказательства обозначим через

некоторую первообразную для

и через

-- первообразную для $f({\varphi}(x)){\varphi}'(x)$ . Это означает, что

и $G'(x)=f({\varphi}(x)){\varphi}'(x)$ . Доказываемое равенство (1.3) эквивалентно тогда такому:

$\displaystyle F(u)\Bigl\vert _{u={\varphi}(x)}=G(x)+C,$

или

$\displaystyle F({\varphi}(x))=G(x)+C.$

Для доказательства последнего соотношения достаточно проверить. что совпадают производные левой и правой частей. Но по формуле производной сложной функции получаем:

$\displaystyle (F({\varphi}(x)))'=F'_u({\varphi}(x)){\varphi}'(x)=f({\varphi}(x)){\varphi}'(x),$

то есть то же, что и

. Формула (1.3) доказана.

Заметим, что выражение ${\varphi}'(x)dx$ в правой части (1.3) есть не что иное, как дифференциал функции $u={\varphi}(x)$ . Так что мы можем записать (1.3) в виде

$\displaystyle \int f(u)\,du\Bigl\vert _{u={\varphi}(x)}=\int f({\varphi}(x))\,d{\varphi}(x).$

Теперь, после этого доказательства, мы получили право трактовать

в обозначении неопределённого интеграла как некоторый дифференциал, а не просто как элемент обозначения интеграла, вроде скобки.