Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Свойства неопределённого интеграла

Интеграл от суммы равен сумме интегралов: $\displaystyle \int(f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.$

Действительно, пусть первообразная для $ f(x)$ равна $ F(x)$ , для $ g(x)$ равна $ G(x)$ , а для $ f(x)+g(x)$ равна $ H(x)$ . Тогда равенство означает, что
$\displaystyle H(x)=F(x)+G(x)+C,$

где $ C=\mathrm{const}$ . Поскольку
$\displaystyle H'(x)=f(x)+g(x)$

и
$\displaystyle (F(x)+G(x)+C)'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x),$

то равенство верно; при этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных.

Свойства 2 и 3 называются свойствами линейности неопределённого интеграла. Из них следует, что для любых постоянных $ C_1$ и $ C_2$

$\displaystyle \int(C_1f(x)+C_2g(x))\,dx=C_1\int f(x)\,dx+C_2\int g(x)\,dx$

и, в частности,
$\displaystyle \int(f(x)-g(x))\,dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx.$

    

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;