Теорема Связь дифференциала с частными производными

Теорема 7.9 Пусть функция дифференцируема в точке . Докажем, что тогда в точке существуют частные производные по всем переменным , причём если

$\displaystyle df(x^0;{\Delta}x)=D_1(x^0){\Delta}x_1+\ldots+D_n(x^0){\Delta}x_n,$

то

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)=D_i(x^0).$

(7.3)

Доказательство. Рассмотрим приращения вида ${\Delta}x=({\Delta}x_1;0;\dots;0)$ , где ${\Delta}x_1\ne0$ . Тогда $\vert{\Delta}x\vert=\vert{\Delta}x_1\vert$ и $\vert{\Delta}x\vert\to0$ при ${\Delta}x_1\to0$ . Поскольку ${\Delta}x_2=0,\ \dots,\ {\Delta}x_n=0$ , приращение функции имеет вид

$\displaystyle {\Delta}f=D_1(x^0){\Delta}x_1+{\alpha}(x^0;{\Delta}x).$

Разделив обе части на ${\Delta}x_1$ и переходя к пределу при ${\Delta}x_1\to0$ , получаем:

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x_1\to0}\frac{{\Delta}f}{{\Delta}x_1}=D_1(x^0)+ \lim_{{\Delta}x_1\to0}\frac{{\alpha}(x^0;{\Delta}x)}{{\Delta}x_1}.$

Второе слагаемое даёт 0, поскольку

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x_1\to0}\bigl\vert\frac{{\alpha}(x^0;{\Delta}x)}{{\... ...lta}x\vert\to0}\frac{\vert{\alpha}(x^0;{\Delta}x)\vert}{\vert{\Delta}x\vert}=0,$

по предположению о дифференцируемости.

Левая часть же даёт частную производную по , поскольку точка $x^0+{\Delta}x$ при приращении указанного вида находится на прямой, проходящей через точку параллельно оси . Значит,

$\displaystyle \lim_{{\Delta}x_1\to0}\frac{{\Delta}f}{{\Delta}x_1}=\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0).$

Итак, доказали, что частная производная по

существует, и

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)=D_1(x^0).$

Совершенно аналогично доказывается существование частных производных по $x_2,\dots, x_n$ и равенства (7.3) при $i=2,\dots,n$ , если рассматривать ненулевые приращения лишь по какой-либо из остальных переменных.

Итак, доказанная теорема позволяет записать дифференциал функции в виде

$\displaystyle df(x^0;{\Delta}x)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0){\Delta}x_1+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0){\Delta}x_n.$

(7.4)

Эта формула выражает дифференциал через частные производные первого порядка.

Заметим, что если взять функцию равной какой-нибудь координате,

$\displaystyle f(x)=x_i,$

то, очевидно,

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}=1;\ \frac{\partial f}{\partial x_j}=0$ при $\displaystyle j\ne i,$

так что по формуле (7.4) получаем:

$\displaystyle df=dx_i=1\cdot{\Delta}x_i={\Delta}x_i:$

приращение ${\Delta}x_i$ координаты

и её дифференциал

совпадают. Поэтому формулу (7.4) можно записать в виде

$\displaystyle df(x^0;dx)=\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^0)dx_1+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)dx_n,$

(7.5)

где $dx=(dx_1;\dots;dx_n).$

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;