Свежие новости: общественный Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Математика Дифференцируемость функции и дифференциал

 

Определение 7.11   Если указанное представление (7.2) имеет место, то функцию $ f(x)$ называют дифференцируемой в точке $ x^0$ , а линейную относительно $ {\Delta}x$ функцию

 

$\displaystyle df(x^0;{\Delta}x)=D_1(x^0){\Delta}x_1+\ldots+D_n(x^0){\Delta}x_n,$

то есть главную линейную часть приращения функции, -- дифференциалом функции $ f$ в точке $ x^0$ .

Если функция $ f$ является дифференцируемой в любой точке открытой области $ {\Omega}$ , то функцию $ f$ называют дифференцируемой в области $ {\Omega}$ .     

Таким образом, приращение $ {\Delta}f$ дифференцируемой функции можно представить в виде суммы дифференциала $ df$ , то есть линейной части приращения, и остатка $ {\alpha}$ , который имеет более высокий порядок малости, чем приращение $ {\Delta}x$ :

 

$\displaystyle {\Delta}f=df+{\alpha}.$

        Теорема 7.8   Дифференцируемая в точке $ x^0$ функция является непрерывной в этой точке.

        Доказательство.     Действительно, если $ \vert{\Delta}x\vert\to0$ , то стремятся к 0 все слагаемые дифференциала: они имеют вид $ D_i(x^0){\Delta}x_i$ ; множитель $ D_i(x^0)$ не зависит от $ {\Delta}x$ , то есть постоянен, а $ {\Delta}x_i\to0$ , поскольку $ \vert{\Delta}x_i\vert\leqslant \vert{\Delta}x\vert.$ Величина $ {\alpha}$ также стремится к 0, так как имеет даже больший порядок малости, чем $ \vert{\Delta}x\vert$ . Значит, $ {\Delta}f=df+{\alpha}\to0$ . Но условие $ {\Delta}f=f(x^0+{\Delta}x)-f(x^0)\to0$ как раз и означает, что $ f(x^0+{\Delta}x)\to f(x^0)$ при $ {\delta}x\to0$ , то есть что функция $ f$ непрерывна в точке $ x^0$ .     

 

        

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;