Найдём частные производные второго порядка

Пример 7.13 Пусть $\displaystyle f(x_1;x_2;x_3)=x_1^3x_2^2x_3^4.$

Найдём частные производные второго порядка. Для этого сначала найдём производные первого порядка:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_1}=3x_1^2x_2^2x_3^4; \frac{\partial... ...partial x_2}=2x_1^3x_2x_3^4; \frac{\partial f}{\partial x_3}=4x_1^3x_2^2x_3^3.$

Затем находим производные от $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_1}}$ :

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1^2}=\frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\p... ...=\frac{\partial}{\partial x_2}(\frac{\partial f}{\partial x_1})=6x_1^2x_2x_3^4;$
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_3\pat x_1}=\frac{\partial}{\partial x_3}(\frac{\partial f}{\partial x_1})=12x_1^2x_2^2x_3^3,$

производные от $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}$ :

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_2}=\frac{\partial}{\partial x_1}(\f... ...\frac{\partial}{\partial x_3}(\frac{\partial f}{\partial x_2})=8x_1^3x_2x_3^3$

и производные от $\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_3}}$ :

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_3}=\frac{\partial}{\partial x_1}(\... ...=\frac{\partial}{\partial x_2}(\frac{\partial f}{\partial x_3})=8x_1^3x_2x_3^3;$
$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_3^2}=\frac{\partial}{\partial x_3}(\frac{\partial f}{\partial x_3})=12x_1^3x_2^2x_3^2.$

От любой из частных производных второго порядка можно рассматривать, в свою очередь, частные производные:

Если при вычислении частной производной высокого порядка некоторые дифференцирования проводятся по одной и той же переменной несколько раз подряд, то это отражается в обозначениях очевидным образом, например, $\frac{\textstyle{\pat^5f}}{\textstyle{\pat x_1^3\pat x_2^2}}$ означает то же самое, что $\frac{\textstyle{\pat^5f}}{\textstyle{\pat x_1\pat x_1\pat x_1\pat x_2\pat x_2}}.$

Пример 7.14 Вычислим $\frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_1^2\pat x_2}}$ для функции

из предыдущего примера.

Поскольку

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_2}=6x_1^2x_2x_3^4,$

имеем

$\displaystyle \frac{\pat^3f}{\pat x_1^2\pat x_2}= \frac{\partial}{\partial x_1}(\frac{\pat^2f}{\pat x_1\pat x_2})=12x_1x_2x_3^4.$

Частные производные высших порядков