Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Математика Свойства функций, непрерывных в области

     Теорема 7.7 (о промежуточном значении)   Пусть функция $ f$ непрерывна в связной области $ {\Omega}$ . Рассмотрим произвольные две точки $ x^0,\ x^1\in{\Omega}$ и число $ C$ , промежуточное между значениями $ f(x^0)$ и $ f(x^1)$ :

 

$\displaystyle f(x^0)\leqslant C\leqslant f(x^1)$

(мы предположили, что $ f(x^0)\leqslant f(x^1)$ ). Тогда в области $ {\Omega}$ обязательно существует такая точка $ x^*$ , в которой $ f(x^*)=C$ , то есть функция принимает любое промежуточное значение в некоторой точке связной области $ {\Omega}$ .

        Доказательство.     Соединим точки $ x^0$ и $ x^1$ непрерывным путём $ {\gamma}(t)$ , $ t\in[0;1]$ , целиком лежащим в $ {\Omega}$ ; такой путь существует по предположению о связности области $ {\Omega}$ . Тогда $ {\gamma}(0)=x^0$ и $ {\gamma}(1)=x^1$ . Рассмотрим функцию одного переменного $ t\in[0;1]$ , равную композиции функции $ f$ и вектор-функции $ {\gamma}$ :

 

$\displaystyle g(t)=f({\gamma}(t)).$

Поскольку функция $ f$ и все функции $ {\gamma}_i(t)$ , задающие координаты пути, непрерывны, то композиция $ g(t)$ также является непрерывной функцией. При этом

 

$\displaystyle g(0)=f(x^0)\leqslant C\leqslant g(1)=f(x^1).$

Применяя к непрерывной на отрезке $ [0;1]$ функции $ g(t)$ теорему о промежуточном значении (для функций одного переменного, в данном случае $ t$ ), получаем, что найдётся такое значение параметра $ t$ , равное $ t^*\in[0;1]$ , для которого $ g(t^*)=C$ . Но это равенство означает в точности, что взяв $ x^*={\gamma}(t^*)$ , мы получим $ f(x^*)=C$ , что и требовалось.     

        Замечание 7.2   Если область $ {\Omega}$ не связна, то промежуточное значение $ C$ непрерывная функция может и не принимать ни в одной точке области. Пусть, например, $ {\Omega}$ состоит из двух открытых полуплоскостей: левой, $ x_1<0$ , и правой, $ x_1>0$ (выше мы видели, что такая область $ {\Omega}$ не связна). Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=\mathop{\rm sign}\nolimits (x_1)$ в области $ {\Omega}$ ; эта функция тождественно равна $ -1$ в левой полуплоскости и тождественно равна 1 в правой полуплоскости. В любой точке $ x$ области $ {\Omega}$ функция непрерывна, поскольку постоянна в некоторой круговой окрестности этой точки; поскольку область открыта, такая круговая окрестность, целиком содержащаяся в $ {\Omega}$ , существует для любой точки $ x\in{\Omega}$ . Однако никакое промежуточное значение $ C$ , такое что $ -1<C<1$ (например, $ C=0$ ), функция нигде не принимает.     

 

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;