Математика Свойства функций, непрерывных в области

Назовём множество ${\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ ограниченным, если оно целиком содержится в шаре достаточно большого радиуса, то есть если найдётся такое число

, что

Теорема 7.6 (об ограниченности и существовании экстремумов) Если функция непрерывна в замкнутой и ограниченной области ${\Omega}$ , то:

1) функция ограничена на ${\Omega}$ , то есть существует такая постоянная , что $\vert f(x)\vert\leqslant M$ при всех $x\in{\Omega}$ ;

2) функция принимает в области ${\Omega}$ наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют такие точки $x^1\in{\Omega}$ и $x^2\in{\Omega}$ , что при всех $x\in{\Omega}$ выполняются неравенства $f(x)\geqslant f(x^1)$ и $f(x)\leqslant f(x^2)$ .

(В этом случае точка называется точкой минимума, а точка -- точкой максимума функции в области ${\Omega}$ .)

Свойства 1) и 2) аналогичны свойствам функции одного переменного, непрерывной на замкнутом отрезке

. Доказательство теоремы заинтересованный читатель сможет найти, например, в книге
Никольский С. М. Курс математического анализа, т. 1. -- M.: Наука, 1991. -- С. 285-286.

Замечание 7.1 Если область, в которой функция непрерывна, не является замкнутой или не является ограниченной, то утверждения теоремы могут быть и не верны, как показывают следующие примеры:

Функция $f(x_1;x_2)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x_1^2+x^2_2-1}}$ непрерывна, но не ограничена в ограниченном, но незамкнутом круге ${\Omega}=\{x_1^2+x_2^2<1\}$ . Докажите неограниченность, рассмотрев ограничение функции на диаметр круга, заданный условием .

Функция $f(x_1;x_2)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x_1^2+x^2_2+1}}$ непрерывна на всей плоскости . Заметим, что плоскость не является ограниченным множеством. Эта функция ограничена, так как