Таблица неопределённых интегралов Докажем формулу

12) Докажем формулу $\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x}=\ln\bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}\bigr\vert+C.$

(Здесь

постоянна на каждом из интервалов $(k\pi;(k+1)\pi)$ , $k\in\mathbb{Z}$ , из которых состоит область определения подынтегральной функции $\frac{1}{\sin x}$ .)

Подсчитаем производную правой части в случае, когда $\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}>0$ . Получаем:

$\displaystyle \Bigl(\ln\bigl(\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}\bigr)\Bigr)'=... ...rm tg}\nolimits \frac{x}{2}}\cdot\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2}=$
$\displaystyle =\frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}=\frac{1}{\sin x}.$

Случай $\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}<0$ разбирается аналогично.

13) Имеет место также формула

$\displaystyle \int\frac{dx}{\cos x}=\ln\bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \bigl(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\bigr)\bigr\vert+C,$

доказательство которой предоставляется читателю в качестве упражнения.

$\displaystyle \int\frac{dx}{a^2+x^2}=-\frac{1}{a}\mathop{\rm arcctg}\nolimits \frac{x}{a}+C.$

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;