Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Таблица неопределённых интегралов

8) Табличная формула $ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ означает, что $ F(x)=\arcsin x$  -- первообразная для $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервале $ (-1;1)$ . Значит,

 

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C.$

Заметим, что в соответствии с примером 1.3 мы можем также написать:

 

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=-\arccos x+C.$

(Значения $ C$ в двух последних формулах означают разные постоянные.)

Докажем также обобщение полученной формулы: если $ a>0$ , то на интервале $ (-a;a)$ имеем

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C.$

Для доказательства достаточно показать, что производная правой части равна подынтегральной функции:

$\displaystyle \bigl(\arcsin\frac{x}{a}\bigr)'= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2... ...frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}\cdot\frac{1}{a}= \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}. $

Разумеется, верна и формула

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=-\arccos\frac{x}{a}+C.$

9) Из табличной формулы $ (\mathop{\rm arctg}\nolimits x)'=\frac{1}{1+x^2}$ (при $ x\in(-\infty;+\infty)$ ) получаем, что

$\displaystyle \int\frac{dx}{1+x^2}=\mathop{\rm arctg}\nolimits x+C.$

Поскольку $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x+\mathop{\rm arcctg}\nolimits x=\frac{\pi}{2}$ при любом $ x$ , то функция $ -\mathop{\rm arcctg}\nolimits x$ так же, как и $ \mathop{\rm arctg}\nolimits x$ , служит первообразной для $ \frac{1}{1+x^2}$ . Значит, мы можем также написать

$\displaystyle \int\frac{dx}{1+x^2}=-\mathop{\rm arcctg}\nolimits x+C$

(с другим, однако, значением постоянной $ C$ , нежели в предыдущей формуле).

Докажем также следующее обобщение полученной формулы: если $ a>0$ , то

$\displaystyle \int\frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{x}{a}+C.$

Для доказательства найдём производную правой части:
$\displaystyle \bigl(\frac{1}{a}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{x}{a}\bigr)'= ... ...frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{a^2}}\cdot\frac{1}{a}= \frac{1}{a^2+x^2}.$

Получили подынтегральную функцию, что и доказывает формулу.

Ясно, что имеет место также формула

$\displaystyle \int\frac{dx}{a^2+x^2}=-\frac{1}{a}\mathop{\rm arcctg}\nolimits \frac{x}{a}+C.$

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;