Таблица неопределённых интегралов

2) Пусть . Тогда $\int x^{-1}\,dx=\int\frac{dx}{x}$ не задаётся формулой предыдущего пункта. Однако, согласно таблице производных, при мы имеем $(\ln x)'=\frac{1}{x}$ , следовательно, $F(x)=\ln x=\ln\vert x\vert$ -- первообразная для $f(x)=\frac{1}{x}$ на интервале $(0;+\infty)$ . Проверим, что при функция $\ln\vert x\vert=\ln(-x)$ -- первообразная для $\frac{1}{x}$ на интервале $(-\infty;0)$ . Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции получаем

$\displaystyle (\ln(-x))'=\frac{1}{-x}(-x)'=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x}.$

Итак, на объединении интервалов $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ ) функция $F(x)=\ln\vert x\vert$ служит первообразной для $f(x)=\frac{1}{x}$ , то есть

$\displaystyle \int\frac{dx}{x}=\ln\vert x\vert+C$

(здесь

-- кусочно постоянная величина).

3) Поскольку, согласно таблице производных, при $a>0, a\ne1$

$\displaystyle \bigl(\frac{1}{\ln a}a^x\bigr)'=\frac{1}{\ln a}\cdot a^x\ln a=a^x,$

то

$\displaystyle \int a^x\,dx=\frac{1}{\ln a}a^x+C.$

В частности, при получаем:

$\displaystyle \int e^x\,dx=e^x+C.$

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;