Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Открытые и замкнутые области

 Пример 7.3   Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ является замкнутой областью, так как его граница пуста.

Замыканием открытого шара $ B^{x^0}_r$ служит замкнутый шар $ \{x\in\mathbb{R}^n:\vert x-x^0\vert\leqslant r\}$ , получающийся добавлением к открытому шару сферы $ S^{x^0}_r$ . Замкнутый шар является замкнутой областью.

Замыканием открытого полупространства $ \{x\in\mathbb{R}^n:a_1x_1+\ldots+a_nx_n>b\}$ служит замкнутое полупространство $ \{x\in\mathbb{R}^n:a_1x_1+\ldots+a_nx_n\geqslant b\}$ , полученное добавлением к открытому полупространству ограничивающей его гиперплоскости $ \Pi=\{x\in\mathbb{R}^n:a_1x_1+\ldots+a_nx_n=b\}$ . Замкнутое полупространство является замкнутой областью.

Замыканием положительного октанта $ \{x\in\mathbb{R}^n:x_i>0,\ i=1,\dots,n\}$ служит неотрицательный октант

 

$\displaystyle \mathbb{R}^n_+=\{x\in\mathbb{R}^n:x_i\geqslant 0,\ i=1,\dots,n\}.$

Неотрицательный октант также является замкнутой областью.     

Однако не любое замкнутое множество в $ \mathbb{R}^n$ является замкнутой областью. Например, гиперплоскость $ \Pi$ содержит все свои граничные точки (она вся состоит из своих граничных точек) и, следовательно, замкнута. Однако внутренних точек она не имеет (никакой шар не лежит целиком в гиперплоскости). Поэтому её внутренность $ \mathop{\rm int}\nolimits (\Pi)=\varnothing $ , и замыкание внутренности также пусто, то есть не совпадает с $ \Pi$ . Значит, $ \Pi$ не является замкнутой областью, поскольку $ \mathop{\rm clo}\nolimits (\mathop{\rm int}\nolimits (\Pi))\ne\Pi$ .

        Упражнение 7.1   Докажите, что если множество $ {\Omega}$ замкнуто, то $ \mathop{\rm clo}\nolimits (\mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega}))\sbs{\Omega}$ .     

        Упражнение 7.2   Пусть $ n=2$ и $ {\Gamma}=\{y=f(x)\}$  -- график функции $ f(x)$ , на отрезке $ [a;b]\sbs Ox$ , рассматриваемый как подмножество двумерного пространства -- плоскости $ \mathbb{R}^2=\{(x;y)\}$ . Докажите, что $ {\Gamma}$ не может являться открытым множеством.

Пусть теперь функция $ f$ имеет областью определения отрезок $ [a;b]\sbs Ox$ . Докажите, что её график $ {\Gamma}$ является замкнутым подмножеством плоскости $ \mathbb{R}^2_{x;y}$ тогда и только тогда, когда функция $ f(x)$ непрерывна на $ [a;b]$ .     

        Упражнение 7.3   Рассмотрим на плоскости $ \mathbb{R}^2=\{(x;y)\}$ график $ {\Gamma}$ функции $ f(x)=\sin\frac{1}{x}$ , при $ x\ne0$ . Докажите, что $ {\Gamma}$  -- не замкнутое множество и что $ \mathop{\rm clo}\nolimits ({\Gamma})={\Gamma}\cup I$ , где $ I=\{(0;y):y\in[-1;1]\}$  -- отрезок $ [-1;1]$ на оси $ Oy$ .     

        Упражнение 7.4   Пусть $ a_i<b_i$ , $ i=1,2,\dots,n$ . Рассмотрим интервалы $ (a_i;b_i)$ и отрезки $ [a_i;b_i]$ и их прямые произведения:

 

$\displaystyle P_{(a;b)}=\prod_{i=1}^n(a_i;b_i)=\{x\in\mathbb{R}^n:a_i<x_i<b_i\}$

и

 

$\displaystyle P_{[a;b]}=\prod_{i=1}^n[a_i;b_i]=\{x\in\mathbb{R}^n:a_i\leqslant x_i\leqslant b_i\}.$

Покажите, что $ P_{(a;b)}$  -- открытая область в $ \mathbb{R}^n$ и что $ P_{[a;b]}$  -- её замыкание (то есть замкнутая область).

Множество $ P_{(a;b)}$ будем называть открытым брусом, или открытым параллелепипедом, а множество $ P_{[a;b]}$  -- замкнутым брусом, или замкнутым параллелепипедом.     

    

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;