Открытые и замкнутые области

Определение 7.1 Функцией нескольких переменных будем называть любую функцию

с вешественными значениями, область определения которой $\mathcal{D}=\mathcal{D}(f)$ -- подмножество

-мерного пространства $\mathbb{R}^n$ , $n\geqslant 2$ . Таким образом,

$\displaystyle f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ --

это функция, аргументами которой служат точки

$\displaystyle x=(x_1;x_2;\dots;x_n)\in\mathcal{D}\sbs\mathbb{R}^n,$

где координаты точки

, то есть числа $x_i\in\mathbb{R}$ ( $i=1,2,\dots,n$ ) -- те переменные, от которых зависит значение

функции

Нас будут интересовать функции, областями определения которых служат открытые или замкнутые подобласти ${\Omega}$ в $\mathbb{R}^n$ . Дадим определение того, что такое открытая и замкнутая области.

Определение 7.2 Точку

множества ${\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ назовём внутренней точкой ${\Omega}$ , если

входит в ${\Omega}$ вместе с некоторой своей шаровой окрестностью:

$\displaystyle B=B^{x^0}_{{\delta}}=\{x\in\mathbb{R}^n:\ \vert x-x^0\vert<{\delta}\}\sbs{\Omega}.$

(Через ${\delta}$ обозначен радиус шаровой окрестности

; в качестве расстояния $\vert\cdot\vert$ мы будем брать декартово расстояние между точками, так что расстояние между точками ${a=(a_1;\dots;a_n)}$ и ${b=(b_1;\dots;b_n)}$ равняется $\vert a-b\vert=\sqrt{(a_1-b_1)^2+\ldots+(a_n-b_n)^2}$ .)

Рис.7.1.

Множество всех внутренних точек множества ${\Omega}$ называется внутренностью множества ${\Omega}$ и обозначается $\mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})$ .

Множество ${\Omega}$ называется открытым, если все его точки -- внутренние, то есть если оно совпадает со своей внутренностью: ${\Omega}=\mathop{\rm int}\nolimits ({\Omega})$ . Открытое множество в $\mathbb{R}^n$ часто называют также открытой областью.

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;