Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Только теперь! Панели пластиковые продажа оптом. Очень много Основы ТОЭ | Электрические цепи | купить китайский телефон nokia и китайский iphone Функции | Производные | Матрицы | Нужен нотариус: нотариус. Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Интегралы Вычисление длины плоской линии

 

        Пример 6.6  Найдём длину $ l$ отрезка параболы $ y=\frac{x^2}{2}$ , лежащего между точками $ O(0;0)$ и $ A(1;\frac{1}{2})$ .

Рис.6.16.



Пусть $ f(x)=\frac{x^2}{2}$ ; тогда $ f'(x)=x$ и

 

$\displaystyle l=\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx.$

Для вычисления значения интеграла $ l$ проинтегрируем по частям и преобразуем интеграл в правой части так, что получится уравнение относительно $ l$ :

$\displaystyle l=\int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx=\left\vert\begin{array}{l} u=\sqrt{1+... ...t\vert= x\sqrt{1+x^2}\Bigl\vert _0^1-\int_0^1x\cdot\frac{x\;dx}{\sqrt{1+x^2}}=$(6.7*)
$\displaystyle =\sqrt{2}-\int_0^1\frac{(1+x^2)-1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx= \sqrt{2}-l+\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx,$(6.8)

Здесь мы учли при перобразовании, что

 

$\displaystyle \int_0^1\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}\;dx= \int_0^1\sqrt{1+x^2}\;dx=l.$

Последний интеграл в правой части (6.7*) -- табличный:

 

$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\;dx= \ln\vert x+\sqrt{1+x^2}\vert\Bigl\vert _0^1=\ln(1+\sqrt{2}).$

Получаем в итоге уравнение для искомой величины $ l$ :

 

$\displaystyle l=\sqrt{2}-l+\ln(1+\sqrt{2}),$

откуда находим

 

$\displaystyle l=\frac{1}{2}(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})).$

    

Аналогично построению, проведённому выше, можно выполнить построение вписанной ломаной для линии $ L$ , заданной параметрическими уравнениями в $ m$ -мерном пространстве с координатами $ (x_1;\dots;x_m)$ :

 

$\displaystyle x_j=f_j(t),\ j=1,\dots,m$

($ m=2$ для плоскости, $ m=3$ для трёхмерного пространства). Снова считая длину линии по определению равной пределу длин вписанных ломаных при измельчении разбиения, получаем формулу для длины $ l$ дуги линии $ L$ , лежащей между точками $ M_0(f_1({\alpha}),\dots,f_m({\alpha}))$ и $ N(f_1({\beta}),\dots,f_m({\beta}))$ :

$\displaystyle l=\int_{{\alpha}}^{{\beta}}\sqrt{\sum_{j=1}^m(f_j'(t))^2}\;dt.$(6.9)

Если на плоскости (то есть при $ m=2$ ) в качестве параметра $ t={\varphi}$ линии, заданной уравнением в полярных координатах $ r=f({\varphi})$ , взять полярный угол $ {\varphi}$ , то формула длины линии принимает вид

 

$\displaystyle l=\int_{{\alpha}}^{{\beta}}\sqrt{(f({\varphi}))^2+(f'({\varphi}))^2}\;d{\varphi}.$

При выводе этой формулы нужно учесть связь между декартовыми координатами $ (x_1;x_2)$ и полярными координатами $ (r;{\varphi})$ :

 

$\displaystyle x_1=r\cos{\varphi};\ x_2=r\sin{\varphi}.$

Выведите эту формулу длины из формулы (6.9) в качестве упражнения.

   

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

Определённый интеграл и его свойства

Несобственные интегралы

Приближённое вычисление определённых интегралов

Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям

 
Расчет электрических цепей Путевки для отдыха: Горящие путевки в Египет . Горящие путевки - скидки. Цепи постоянного и переменного тока Снятие порчи. Заговоры от порчи: снять сглаз . Снятие порчи и сглаза. Расчёт трёхфазных электрических цепей Законы Кирхгофа и расчёт резистивных электрических цепей Очень красивые девушки: уроки фотографии . Курсы фотографии. Расчёт магнитной цепи Расчёт электрического поля В шоке от предстоящего переезда: ремонт мостовых кранов . Сборник заданий по ТОЭ Явление электромагнитной индукции и магнитные цепи Электрические цепи постоянного тока Электрические цепи переменного тока Баланс мощностей Граф электрической цепи Лекции по курсу основы электротехники