Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Пусть в пространстве $\mathbb{R}^3$ с декартовой системой координат

лежит область ${\Omega}$ , проектирующаяся на ось

в отрезок

. Предположим, что для каждого $x\in[a;b]$ нам известна площадь

сечения тела ${\Omega}$ плоскостью, проходящей через точку

оси абсцисс перпендикулярно этой оси. Площадь

будем называть площадью поперечного сечения тела ${\Omega}$ .

Для нахождения объёма тела ${\Omega}$ возьмём размеченное разбиение $\Xi$ отрезка , которое образуют точки деления $x_0=a<x_1<\ldots<x_{n-1}<x_n=b$ и отмеченные точки $\ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$ , $i=1,\dots,n$ . Плоскости разбивают тело ${\Omega}$ на слои ${\Omega}_i$ , объёмы которых мы вычислим приближённо, в соответствии с этим разбиением заменив объём слоя ${\Omega}_i$ на объём цилиндра, высота которого $h_i=x_i-x_{i-1}$ та же, что у слоя ${\Omega}$ , а основание совпадает с сечением тела плоскостью $x=\ov x_i$ , проведённой где-то посередине между основаниями слоя ${\Omega}_i$ (см. рис.). Образующие этого цилиндра -- отрезки прямых, проходящих параллельно оси через точки границы сечения.

Рис.6.9.

Объём цилиндра равен, очевидно, $\wt V_i=S(\ov x_i)h_i$ , а подсчитанный приближённо с помощью данного разбиения объём всего тела ${\Omega}$ --

$\displaystyle V_{{\Omega}}\approx\wt V_{\Xi}= \sum_{i=1}^n\wt V_i= \sum_{i=1}^nS(\ov x_i)h_i.$

Последняя сумма -- это интегральная сумма, построенная для функции

по размеченному разбиению $\Xi$ . При неограниченном измельчении разбиения (то есть при $\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ ) эта сумма стремится к значению определённого интеграла от

по

. С другой стороны, задаваемый этой суммой объём будет стремиться к объёму тела $V_{{\Omega}}$ (этот предельный объём мы можем по определению считать равным объёму тела ${\Omega}$ ). Итак, получаем формулу

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\int_a^bS(x)\;dx.$

(6.5)

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;