Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Площадь в полярных координатах

     Пример 6.3   Найдём площадь $ S$ области, ограниченной частью спирали $ r=a{\varphi}^2$ ($ a>0$ ) при $ {\varphi}\in[0;2\pi]$ и отрезком $ [0;4\pi^2a]$ оси $ Ox$ (см. рис.).

Рис.6.7.



Применяя формулу (6.3), получаем:

 

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(a{\varphi}^2)^2\;d{\varphi}= \frac{a^... ...arphi}^5}{5}\Bigl\vert _0^{2\pi}=\frac{a^2}{10}(2\pi)^5= \frac{16a^2\pi^5}{5}.$

    

Если область $ \mathcal{D}$ имеет границу, состоящую из двух отрезков лучей $ {\varphi}={\alpha}$ и $ {\varphi}={\beta}$ (эти отрезки могут вырождаться в одну точку) и двумя линиями, заданными уравнениями в полярных координатах: $ r=f_1({\varphi})$ и $ r=f_2({\varphi})$ , причём $ f_1({\varphi})\leqslant f_2({\varphi})$ при всех $ {\varphi}\in[{\alpha};{\beta}]$ (см. рис.), то площадь $ S$ области $ \mathcal{D}$ можно представить как разность двух площадей: $ S_2$  -- площади области, лежащей между лучами $ {\varphi}={\alpha}$ , $ {\varphi}={\beta}$ и линией $ r=f_2({\varphi})$ , -- и $ S_1$  -- площади области, лежащей между лучами $ {\varphi}={\alpha}$ , $ {\varphi}={\beta}$ и линией $ r=f_1({\varphi})$ .

Рис.6.8.



Каждую из площадей $ S_1$ и $ S_2$ можно подсчитать по формуле (6.3), так что получаем в итоге

$\displaystyle S=\frac{1}{2}\Bigl(\int_{{\alpha}}^{{\beta}}(f_2({\varphi}))^2\;d... ...alpha}}^{{\beta}}\bigl((f_2({\varphi}))^2-(f_1({\varphi}))^2\bigr)\;d{\varphi}.$(6.4)

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;