Замечание 1.1   Заметим, что если равенства и выполнены для функций и не на одном интервале , а на двух или больше непересекающихся интервалах , , то мы можем лишь утверждать, что, согласно доказанной теореме, , где постоянные могут быть разными для разных интервалов . С другой стороны, очевидно, что при любых функция даёт ту же производную, что и , в любой точке объединения интервалов.

Например, поскольку при всех , где (то есть функция  -- это первообразная для функции на каждом из непересекающихся интервалов области определения тангенса ), то при любых постоянных функция , заданная на объединении всех этих интервалов равенством

будет давать . Эту функцию можно назвать первообразной для с тем же правом, что и функцию . Заметим, что мы не можем утверждать, что в этом случае:  -- это не постоянная, а кусочно постоянная на интервалах области определения тангенса функция. Итак, утверждение, что первообразная для имеет вид , нужно правильно понимать: либо имеется в виду, что при этом изменяется лишь в пределах только одного из интервалов непрерывности тангенса, либо что  -- кусочно постоянная на объединении этих интервалов функция.

Аналогично обстоит дело и в случае других функций, имеющих в качестве области определения объединение непересекающихся интервалов. Например, поскольку при всех имеет место равенство

 

то на объединении двух интервалов первообразной для будет служить