Интегралы Определение первообразной и её свойства Пример

Пример 1.3 Поскольку $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ и $(-\arccos x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ при $x\in(-1;1)$ , то и $F(x)=\arcsin x$ , и $G(x)=-\arccos x$ служат первообразными для одной и той же функции $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервале

. Заметим, что $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$ при $x\in[-1;1]$ , так что $G(x)=F(x)-\frac{\pi}{2}$ .

Точно так же, любая функция вида , где -- произвольная постоянная, служит первообразной для ; любая функция вида $G(x)=\sin x+C$ , где -- постоянная, -- это первообразная для $f(x)=\cos x$ и т. д. Очевидно, что имеет место такое общее утверждение.

Теорема 1.1 Пусть -- некоторая первообразная для на интервале и -- произвольная постоянная. Тогда функция также является первообразной для на .

Доказательство. Покажем, что производная от даёт :

$\displaystyle G'(x)=(F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x)$

при всех $x\in(a;b)$ . Таким образом,

-- первообразная для

Итак, если -- первообразная для на , то множество всех первообразных для , во всяком случае, содержит все функции вида . Покажем, что никаких других функций множество всех первообразных не содержит, то есть что все первообразные для фиксированной функции отличаются от лишь постоянным на слагаемым .

Теорема 1.2 Пусть -- первообразная для на и -- некоторая другая первообразная. Тогда

$\displaystyle G(x)=F(x)+C$

при некоторой постоянной .

Доказательство. Рассмотрим разность . Поскольку и , то . Покажем, что функция , такая что при всех ${x\in(a;b)}$ , -- это постоянная. Для этого рассмотрим две произвольные точки и , принадлежащие , и к отрезку между и (пусть это ${[x_0;x_1]}$ ) применим формулу конечных приращений