Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Интегралы Определение первообразной и её свойства

 

        Пример 1.3   Поскольку $ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ и $ (-\arccos x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ при $ x\in(-1;1)$ , то и $ F(x)=\arcsin x$ , и $ G(x)=-\arccos x$ служат первообразными для одной и той же функции $ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервале $ (-1;1)$ . Заметим, что $ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$ при $ x\in[-1;1]$ , так что $ G(x)=F(x)-\frac{\pi}{2}$ .     

Точно так же, любая функция вида $ G(x)=x^2+C$ , где $ C$  -- произвольная постоянная, служит первообразной для $ f(x)=2x$ ; любая функция вида $ G(x)=\sin x+C$ , где $ C$  -- постоянная, -- это первообразная для $ f(x)=\cos x$ и т. д. Очевидно, что имеет место такое общее утверждение.

        Теорема 1.1   Пусть $ F(x)$  -- некоторая первообразная для $ f(x)$ на интервале $ (a;b)$ и $ C$  -- произвольная постоянная. Тогда функция $ G(x)=F(x)+C$ также является первообразной для $ f(x)$ на $ (a;b)$ .

        Доказательство.     Покажем, что производная от $ G(x)$ даёт $ f(x)$ :

$\displaystyle G'(x)=(F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x)$

при всех $ x\in(a;b)$ . Таким образом, $ G(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ .     

Итак, если $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ на $ (a;b)$ , то множество всех первообразных для $ f(x)$ , во всяком случае, содержит все функции вида $ F(x)+C$ . Покажем, что никаких других функций множество всех первообразных не содержит, то есть что все первообразные для фиксированной функции $ f(x)$ отличаются от $ F(x)$ лишь постоянным на $ (a;b)$ слагаемым $ C$ .

        Теорема 1.2   Пусть $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ на $ (a;b)$ и $ G(x)$  -- некоторая другая первообразная. Тогда

$\displaystyle G(x)=F(x)+C$

при некоторой постоянной $ C$ .

        Доказательство.     Рассмотрим разность $ {H(x)=G(x)-F(x)}$ . Поскольку $ {F'(x)=f(x)}$ и $ {G'(x)=f(x)}$ , то $ {H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0}$ . Покажем, что функция $ H(x)$ , такая что $ {H'(x)=0}$ при всех $ {x\in(a;b)}$ , -- это постоянная. Для этого рассмотрим две произвольные точки $ x_0$ и $ x_1$ , принадлежащие $ (a;b)$ , и к отрезку между $ x_0$ и $ x_1$ (пусть это $ {[x_0;x_1]}$ ) применим формулу конечных приращений

$\displaystyle H(x_1)-H(x_0)=H'(x^*)(x_1-x_0),$

где $ x^*\in(x_0;x_1)$ . (Напомним, что эта формула -- следствие из теоремы Лагранжа, которую мы рассматривали в первом семестре). Поскольку $ H'(x)=0$ во всех точках $ x\in(a;b)$ , в том числе и $ H'(x^*)=0$ , то $ H(x_1)-H(x_0)=0$ . Следовательно, в произвольной точке $ x_1$ функция $ H(x)$ принимает то же значение, что в точке $ x_0$ , то есть $ {H(x)=C=\mathrm{const}}$ .

Для первообразной $ G(x)$ это означает, что $ G(x)-F(x)=C$ при любом $ x\in(a;b)$ , то есть

 

$\displaystyle G(x)=F(x)+C,$

что и требовалось доказать.     

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;