Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | купить шины Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Интегралы Определение первообразной и её свойства

 

 Пример 1.2   Рассмотрим функцию $ f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}$ на объединении двух интервалов $ \mathcal{D}=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ . Тогда функция $ F(x)=\vert x\vert$  -- это первообразная для $ f(x)$ на $ \mathcal{D}$ .

Действительно, при $ x>0$

$\displaystyle F'(x)=x'=1$

и

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}=\frac{x}{x}=1;$

при $ x<0$

$\displaystyle F'(x)=(-x)'=-1$

и

$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\vert x\vert}=\frac{x}{-x}=-1.$

    

Итак, $ F(x)$  -- первообразная для $ f(x)$ , если $ f(x)$  -- производная от $ F(x)$ . Например, $ F(x)=x^2$  -- первообразная для $ f(x)=2x$ , поскольку $ (x^2)'=2x$ ; $ F(x)=\sin x$  -- первообразная для $ f(x)=\cos x$ , поскольку $ (\sin x)'=\cos x$ , и т. п. Тем самым, нахождение первообразной определяется как операция, обратная к операции вычисления производной. Найти первообразную по данной функции $ f(x)$ означает восстановить функцию $ F(x)$ по её производной.

Заметим теперь, что однозначно восстановить функцию $ F(x)$ по её производной невозможно даже в таком простом случае, когда $ F(x)=\mathrm{const}$ . Действительно, вычисление производной любой постоянной даёт $ F'(x)=0$ , так что различить, какое значение имела постоянная $ F(x)$ , по $ F'(x)$ невозможно. Следовательно, для $ f(x)=0$ любая постоянная служит первообразной: $ F(x)=C$ , где $ C\in\mathbb{R}$  -- произвольное число.

любая функция $ G(x)=-\frac{1}{x}+C(x)$ , где $ C(x)=\left\{\begin{matrix} C_1,\text{ при }x<0;\\ C_2,\text{ при }x>0, \end{matrix}\right.$ а $ C_1$ и $ C_2$  -- произвольные постоянные.     

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;