Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников

Следствие 5.1 При $x\in[x_{i-1};x_i]$ имеет место оценка

$\displaystyle \vert f(x)-l_i(x)\vert\leqslant \frac{M_2}{2}(x-x_{i-1})(x_i-x).$

Доказательство. Применим формулу (5.1) к функции и отрезку ${[{\alpha};{\beta}]=[x_{i-1};x_i]}$ и получим:

$\displaystyle \vert f(x)-l_i(x)\vert=\frac{1}{2}\vert f''(\xi)\vert \vert(x-x_{i-1})(x-x_i)\vert\leqslant \frac{1}{2}M_2(x-x_{i-1})(x_i-x).$

Здесь мы заметили, что $x_{i-1}$ и

-- корни квадратного трёхчлена $(x-x_{i-1})(x-x_i)$ , так что на отрезке между корнями квадратный трёхчлен не больше нуля, и поэтому

$\displaystyle (x-x_{i-1})(x-x_i)=-(x-x_{i-1})(x-x_i)=(x-x_{i-1})(x_i-x).$

Ошибку на -м отрезке разбиения мы можем теперь оценить так:

$\displaystyle \Bigl\vert\int_{x_{i-1}}^{x_i}(f(x)-l_i(x))\;dx\Bigr\vert\leqslan... ...{i-1}}^{x_i}\frac{M_2}{2}(x-x_{i-1})(x_i-x)\;dx= \frac{M_2}{12}(x_i-x_{i-1})^3$

(последний интеграл легко вычисляется).

Просуммируем теперь оценки ошибок на каждом отрезке разбиения и получим оценку ошибки всей квадратурной формулы трапеций:

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_T\vert\leqslant \sum_{i=1}^n \Bigl\vert\int_{... ...{x_i}l_i(x)\;dx\Bigr\vert\leqslant \frac{M_2}{12}\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})^3.$

Если длины всех отрезков разбиения взяты одинаковыми, равными $h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ , то полученная оценка даёт

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_T\vert\leqslant \frac{M_2}{12}nh^3= \frac{M_2(b-a)}{12}h^2= \frac{M_2(b-a)^3}{12}\cdot\frac{1}{n^2}.$

Оценки ошибок ${\varepsilon}_T$ и ${\varepsilon}_R$ , как мы видим, отличаются ровно в два раза. Выше мы отмечали, что эти ошибки имеют противоположные знаки, если функция сохраняет знак на отрезке интегрирования. Значит, на каждом отрезке знакопостоянства функции ошибки $\frac{{\varepsilon}_T}{2}$ и ${\varepsilon}_R$ будут примерно компенсировать друг друга. Подобно тому как мы получили формулу трапеций из формул левых и правых прямоугольников, попробуем получить усреднённую квадратурную формулу, скомбинировав формулы центральных прямоугольников и трапеций; при этом нас подогревает надежда на то, что новая формула будет иметь существенно меньшую ошибку. Умножая на $\frac{1}{2}$ , для того чтобы уравновесить ошибки противоположных знаков, получаем:

$\displaystyle I\approx I_{RT}=\frac{2}{3}(I_R+\frac{1}{2}I_T).$

Преобразуем полученную квадратурную формулу, рассмотрев, из каких слагаемых состоит её правая часть. Величины, соответствующие приближённым значениям интеграла по отрезку разбиения $[x_{i-1};x_i]$ , дают

$\displaystyle \frac{2}{3}\Bigl(f(x_{i-\frac{1}{2}})+\frac{1}{4}\bigl(f(x_{i-1})... ...igl)= \frac{1}{6}f(x_{i-1})+\frac{2}{3}f(x_{i-\frac{1}{2}})+\frac{1}{6}f(x_i)=$
$\displaystyle =\frac{1}{6}\bigl(f(x_{i-1})+4f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_i)\bigr).$

Суммируя эти величины по всем отрезкам разбиения, получаем квадратурную формулу:

$\displaystyle I\approx I_{RT}= \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n \bigl(f(x_{i-1})+4f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_i)\bigr) (x_i-x_{i-1}).$

(5.2)

Ниже мы увидим, что эта формула в точности совпадает с формулой Симпсона.