Интегралы Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Снова рассмотрим отрезки разбиения $[x_{i-1};x_i]$ , где $i=1,\dots,n$ и , , и выберем в качестве точек разметки середины каждого из этих отрезков, то есть точки

$\displaystyle \ov x_i=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i).$

(Мы будем эти середины обозначать $x_{i-\frac{1}{2}}$ .) Возьмём за приближённое значение интеграла интегральную сумму, построенную по такому размеченному разбиению. Каждое слагаемое в этой сумме, равное

$\displaystyle S_i=f(x_{i-\frac{1}{2}})(x_i-x_{i-1}),$

выражает площадь прямоугольника с основанием $[x_{i-1};x_i]$ и высотой, равной значению функции в середине этого отрезка (см. рис.):

Рис.5.3.

Получим тогда квадратурную формулу:

$\displaystyle I\approx I_R=\sum_{i=1}^nf(x_{i-\frac{1}{2}})(x_i-x_{i-1}),$

называемую формулой центральных прямоугольников.

Если взять все отрезки разбиения равной длины $h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ , то эта квадратурная формула принимает вид

$\displaystyle I\approx I_R=h\sum_{i=1}^nf(x_{i-\frac{1}{2}}).$

Заметим, что в этом случае $x_{i-\frac{1}{2}}=x_i-\frac{h}{2}=a+ih-\frac{h}{2}.$

Для выяснения характера ошибки ${\varepsilon}_R=I-I_R$ , возникающей при замене на , заметим, что если функция дифференцируема, то прямоугольник площади равновелик трапеции, верхней стороной которой служит касательная к графику , проведённая при $x=x_{i-\frac{1}{2}}$ (см. рис.):

Рис.5.4.

Действительно, заштрихованные на рисунке треугольники равны, отчего равны площади прямоугольника $x_{i-1}ABx_i$ и трапеции $x_{i-1}CDx_i$ .

Отсюда следует, что если функция имеет вторую производную, то при график является выпуклым кверху и (так как из чертежа видно, что площадь трепеции, равная , больше площади под графиком функции, а при график является выпуклым книзу и . Значит, при на получаем ${\varepsilon}_R<0$ , а при -- ${\varepsilon}_R>0$ .

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;

Интегралы Квадратурная формула центральных прямоугольников