Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Несобственные интегралы второго рода

 Пример 4.9  Рассмотрим интеграл $\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}.$

 

Если $ p>0$ , то подынтегральная функция $ f(x)=\frac{1}{x^p}$ стремится к $ +\infty$ при $ x\to0+$ , так что получается несобственный интеграл второго рода.

Рассмотрим такие случаи:

1) $ 0<p<1$ . Тогда интеграл вычисляется так:

 

$\displaystyle Y(p)=\int_0^1\frac{dx}{x^p}=\frac{1}{1-p}x^{1-p}\Bigr\vert _0^1= \frac{1}{1-p}-0=\frac{1}{1-p},$

поскольку при $ p<1$ имеем $ 1-p>0$ и $ 0^{1-p}=0.$

2) $ p=1$ . Тогда

 

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x}=\ln\vert x\vert\Bigr\vert _0^1=0-(-\infty)=\infty,$

то есть интеграл расходится, поскольку $ \ln x\to-\infty$ при $ x\to0+$ .

3) $ p>1$ . Тогда

$\displaystyle \int_0^1\frac{dx}{x^p}=-\frac{1}{p-1}\frac{1}{x^{p-1}}\Bigr\vert _0^1= -\frac{1}{p-1}+\infty=\infty,$

и интеграл снова расходится, поскольку$ \frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^{p-1}}}\to+\infty$ при $ x\to0+$ , если показатель $ p-1>0$ .

Заметим также, что при $ x\leqslant 0$ интеграл не является несобственным: это обычный (то есть собственный) интеграл от непрерывной ограниченной функции. Единственная неприятность получается при $ p=0$ , поскольку тогда подынтегральная функция $ f(x)=x^0$ не определена при $ x=0$ (и тождественно равна 1 при $ x>0$ ). Но мы знаем, согласно одному из свойств определённого интеграла, что значение подынтегральной функции в одной точке можно изменить без изменения значения интеграла. Так что достаточно переопределить значение в 0, положив $ f(0)=1$ и получив собственный интеграл $ p\geqslant 1$ .     

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;