Несобственные интегралы первого рода Определение

Определение Пусть функция определена при всех $x\in\mathbb{R}$ и интегрируема на любом отрезке $[a;b]\sbs\mathbb{R}$ . Возьмём произвольное значение - $c\in\mathbb{R}$ (например, ) и будем считать по определению несобственный интеграл

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$

равным сумме двух несобственных интегралов по промежуткам $(-\infty;c]$ и > $[c;+\infty)$ , то есть

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx= \int\limits_{-\infty}^cf(x)\;dx+ \int\limits_c^{+\infty}f(x)\;dx.$

Если при этом оба несобственных интеграла в правой части сходятся, то и интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ считается сходящимся, а если хотя бы один из них расходится (при этом неважно, сходится или расходится другой), то и интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ считается расходящимся (тогда он не имеет никакого числового значения).

Заметим, что в точности в соответствии с этим определением мы поступили выше, когда определяли площадь области, расположенной под всем графиком функции ${f(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}}$ ; эта площадь оказалась равной числу $\pi$ .

Для корректности данного определения интеграла по всей оси нам следует доказать, что результат не зависит от выбора точки , то есть при выборе двух разных точек и определение даёт одно и то же, поскольку

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^cf(x)\;dx+\int\limits_c^{+\infty}f(x)\;dx= \int\limits_{-\infty}^{c_1}f(x)\;dx+\int\limits_{c_1}^{+\infty}f(x)\;dx.$

(4.1)

Действительно, пусть

. Тогда, при любых конечных

мы, согласно аддитивности определённого интеграла, имеем:

$\displaystyle \int\limits_{a}^cf(x)\;dx+\int\limits_c^{b}f(x)\;dx= \int\limits... ..._{c_1}^bf(x)\;dx= \int\limits_{a}^{c_1}f(x)\;dx+\int\limits_{c_1}^{b}f(x)\;dx.$

Переходя теперь два раза к пределу, сначала при $b\to+\infty$ , а потом при $a\to-\infty$ , получаем доказываемую формулу (4.1).

В дальнейшем для облегчения записи того, сходится или расходится несобственный интеграл, мы будем использовать следующие обозначения. Тот факт, что интеграл $\int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится, будем записывать в виде такого неравенства:

$\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx<\infty,$

а то, что интеграл расходится -- в виде условной записи

$\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty$

(даже если функция $\Phi(b)=\int\limits_a^{b}f(x)\;dx$ не стремится к $\infty$ при $b\to+\infty$ ). Особенно часто такие обозначения применяются в случае, когда $f(x)\geqslant 0$ при всех $x\in[a;+\infty)$ ; тогда "равенство" $\int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty$ отвечает тому факту, что соответствующая область под графиком функции имеет бесконечную площадь.

Аналогичные обозначения мы будем применять и для интегралов по промежуткам вида $(-\infty;b]$ и по всей оси, а также, в дальнейшем, и для несобственных интегралов второго рода (от неограниченных функций).

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;