Несобственные интегралы первого рода

Определение 4.1 Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида $[a;+\infty)$ и интегрируема на любом конечном отрезке , где $b\in[a;+\infty)$ . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

$\displaystyle \Phi(b)=\int_a^bf(x)\;dx.$

Если эта функция имеет предел $I=\lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b),$ то число

называется значением несобственного интеграла первого рода

$\displaystyle I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx,$

а сам интеграл $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется сходящимся (иными словами, интеграл $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится).

Если же предела $\lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b)$ не существует (например, если $\Phi(b)\to\infty$ при $b\to+\infty$ ), то интеграл $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.

Геометрически, в случае ${f(x)\geqslant 0}$ , величина несобственного интеграла ${I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ означает, по определению, площадь бесконечно длинной области $\mathcal{D}$ , лежащей в координатной плоскости между лучом ${[a;+\infty)}$ на оси , графиком и вертикальным отрезком (см. рис.).

Рис.4.1.

Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям $\mathcal{D}$ , площадь которых конечна (хотя сама область $\mathcal{D}$ неограничена), а расходящиеся (в случае $f(x)\geqslant 0$ ) -- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда $\Phi(b)\to\infty$ при $b\to+\infty$ --> $b\to+\infty$ , часто пишут формально:

$\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty,$

однако нужно ясно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.

Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади путем учёта все большей её части $S_b=\int\limits_a^bf(x)\;dx:$ правый вертикальный отрезок, проведённый при , отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графиком (см. рис.).

Рис.4.2.

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;