Интегралы Примеры и задачи

Пример 3.10 Найдём производную функции $\displaystyle F(x)=\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt.$

Представим интеграл

в виде

$\displaystyle F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}dt- \int_0^xe^{-t^2}dt=F_1(x)-F_2(x)$

(проверьте, что это так, воспользовавшись свойством аддитивности интеграла). Затем, по теореме о производной интеграла по верхнему пределу, получаем

$\displaystyle F_2'(x)=e^{-x^2}.$

При вычислении производной от

, кроме теоремы о производной интеграла по верхнему пределу

, воспользуемся правилом нахождения производной композиции:

$\displaystyle F_1'(x)=(F_1)'_z\cdot z'_x=e^{-z^2}\cdot2x=2xe^{-x^4}.$

В итоге получаем:

$\displaystyle F'(x)=2xe^{-x^4}-e^{-x^2}.$

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;