Свойства определённого интеграла

Теорема 3.10 Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда функция $g(x)=\vert f(x)\vert$ также интегрируема на , причём

$\displaystyle \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx\geqslant \Bigl\vert\int_a^bf(x)\;dx\Bigr\vert.$

(3.5)

Доказательство. Докажем сначала, что функция $g(x)=\vert f(x)\vert$ интегрируема. Пусть $\ul{y}_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ , $\ov{y}_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ . $\ul{z}_i=\inf\limits_{[x_{i-1};x_i]}\vert f(x)\vert$ , $\ov{z}_i=\sup\limits_{[x_{i-1};x_i]}\vert f(x)\vert$ . Тогда для произвольных $x',x''\in[x_{i-1};x_i]$ будет

$\displaystyle \vert f(x')\vert-\vert f(x'')\vert\leqslant \vert f(x')-f(x'')\vert\leqslant \ov y_i-\ul y_i,$

откуда

$\displaystyle 0\leqslant \ov z_i-\ul z_i\leqslant \ov y_i-\ul y_i.$

Умножая на

и суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем:

$\displaystyle 0\leqslant \sum_{i=1}^n(\ov z_i-\ul z_i)h_i\leqslant \sum_{i=1}^n(\ov y_i-\ul y_i)h_i.$

Поскольку функция

интегрируема, правая часть становится меньше любого ${\varepsilon}>0$ , если разбиение имеет достаточно малый диаметр $\mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$ . Тогда для достаточно мелких разбиений и левые части становятся меньше ${\varepsilon}$ , а значит, предел верхних интегральных сумм совпадает с пределом нижних интегральных сумм для функции $g=\vert f\vert$ . Следовательно, функция $g=\vert f\vert$ интегрируема, согласно теореме 3.1.

Неравенство (3.5) докажем так: запишем очевидные неравенства

$\displaystyle f(x)\leqslant \vert f(x)\vert$ и $\displaystyle -f(x)\leqslant \vert f(x)\vert$

и к каждому из них применим теорему об интегрировании неравенства ( теорема 3.8). Получим, если воспользоваться свойством линейности, согласно которому множитель

можно вынести за знак интеграла,

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx$ и $\displaystyle -\int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^b\vert f(x)\vert\;dx.$

Но эти два неравенства как раз и означают, что выполнено неравенство (3.5).

Замечание 3.3 Заметим, что из интегрируемости функции $\vert f(x)\vert$ не следует интегрируемость функции

. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим функцию Дирихле:

$\displaystyle D(x)=\left\{\begin{array}{rl} -1,&\text{ если }x\in\mathbb{Q};\\ 1,&\text{ если }x\notin\mathbb{Q}. \end{array}\right.$

(Напомним, что $\mathbb{Q}$ -- это множество рациональных чисел.) Поскольку при любом разбиении

на любом отрезке $[x_{i-1};x_i]$ найдётся как рациональное, так и иррациональное число, то все верхние суммы равны

$\displaystyle \ov S_D=\sum_{i=1}^n1\cdot h_i=b-a,$

а все нижние суммы равны

$\displaystyle \ul S_D=\sum_{i=1}^n(-1)\cdot h_i=-(b-a).$

Поэтому их пределы при измельчении разбиения не совпадают и, следовательно, функция

не интегрируема.

С другой стороны, функция $g(x)=\vert f(x)\vert$ тождественно равна 1. Она интегрируема, как любая постоянная, и определённый интеграл от неё равен, как легко видно, .

ножая последнее равенство на , получаем утверждение теоремы.