Свойства определённого интеграла Следствие

Следствие 3.1 Пусть на отрезке задана интегрируемая функция , причём для всех $x\in[a;b]$ имеет место неравенство $m\leqslant f(x)\leqslant M$ , где и -- некоторые постоянные. Тогда

$\displaystyle m(b-a)\leqslant \int_a^bf(x)\;dx\leqslant M(b-a).$

(3.4)

Доказательство. Действительно, из предыдущей теоремы следует, что

$\displaystyle \int_a^bm\;dx\leqslant \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^bM\;dx.$

Выше мы уже замечали, что для любой постоянной

$\displaystyle \int_a^bC\;dx=C(b-a),$

откуда $\int_a^bm\;dx=m(b-a)$ и $\int_a^bM\;dx=M(b-a),$ что и доказывает утверждение следствия.

Из этого следствия выводится следующая теорема, которая носит название теоремы о среднем:

Теорема 3.9 Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует такая точка $x^*\in[a;b]$ , что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=f(x^*)(b-a).$

Доказательство. Заметим для начала, что по теореме 3.3 функция интегрируема на , так что интеграл в левой части доказываемого равенства существует. Поскольку функция, непрерывная на отрезке, принимает на нём в некоторых точках и своё наименьшее и наибольшее значения и , то $m=f(x_1)\leqslant f(x)\leqslant f(x_2)=M$ при всех $x\in[a;b]$ . Согласно неравенству (3.4), величина $\frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}$ удовлетворяет неравенству

$\displaystyle m\leqslant \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}\leqslant M$

и, следовательно, является промежуточным значением между

. Но непрерывная функция принимает любое своё промежуточное значение в некоторой точке отрезка, значит, существует такая точка $x^*\in[a;b]$ , что

$\displaystyle \frac{\int_a^bf(x)\;dx}{b-a}=f(x^*).$

Умножая последнее равенство на

, получаем утверждение теоремы.