Свойства определённого интеграла

Теорема 3.7 Рассмотрим функцию , заданную на отрезке . Пусть отрезок можно разбить на конечное число частей , $j=0,1,2,\dots,m$ , $a_j=b_{j-1}$ при $j=0,1,\dots,m-1$ , так что в пределах каждой из частей функция непрерывна либо монотонна на интервале , а в точках $a_j=b_{j-1}$ либо непрерывна, либо имеет разрывы первого рода. Тогда функция интегрируема на .

Доказательство. Согласно свойству аддитивности ( замечание 3.2), достаточно доказать, что функция интегрируема на каждом из замкнутых отрезков . Фиксировав такой отрезок, переопределим, если нужно, функцию в двух точках и , положив её равной соответственно $f(a_j)=\lim\limits_{x\to a_j+}f(x)$ и $f(b_j)=\lim\limits_{x\to b_j-}f(x)$ ; по условию теоремы, оба этих предела существуют. Тогда "исправленная" функция либо непрерывна, либо монотонна на всём отрезке и, следовательно, интегрируема на , согласно теоремам 3.3 и 3.4. Но тогда исходная функция, отличающаяся от "исправленной" только лишь, возможно, в двух точках, тоже интегрируема на , согласно замечанию 3.1. Этим завершается доказательство теоремы.

Следующее свойство свидетельствует о том, что при интегрировании сохраняется знак неравенства.

Теорема 3.8 Пусть интегрируемые на отрезке функции и таковы, что $f(x)\leqslant g(x)$ при всех $x\in[a;b]$ . Тогда

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx\leqslant \int_a^bg(x)\;dx.$

Доказательство. Рассмотрим любое размеченное разбиение $\Xi=(X,\ov X)$ . Для любой точки разметки $\ov x_i$ , лежащей на отрезке разбиения $[x_{i-1};x_i]$ длины , согласно предположению, выполнено неравенство $f(\ov x_i)\leqslant g(\ov x_i)$ и, следовательно, неравенство $f(\ov x_i)h_i\leqslant g(\ov x_i)h_i$ , поскольку . Суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем

$\displaystyle \wt S_f=\sum\limits_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i\leqslant \sum\limits_{i=1}^ng(\ov x_i)h_i= \wt S_g,$

то есть интегральные суммы $\wt S_f$ и $\wt S_g$ , построенные, соответственно, для функций

по любому размеченному разбиению $\Xi$ , связаны тем же знаком неравенства, что и данные функции. Поскольку переход к пределу по базе $\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ сохранит знак неравенства, согласно одному из свойств пределов, то получаем, что

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx= \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt... ...qslant \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_g= \int_a^bg(x)\;dx,$

что и требовалось доказать.