Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Свойства определённого интеграла

 

Линейность интеграла. Пусть $ f(x)$  -- интегрируемая на $ [a;b]$ функция. Докажем формулу, означающую, что постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, а именно, что если $ k=\mathrm{const}$ , то функция $ kf(x)$ интегрируема на $ [a;b]$ и имеет место формула

$\displaystyle \int_a^bkf(x)\;dx=k\int_a^bf(x)\;dx.$

Действительно, если при фиксированном размеченном разбиении составить интегральную сумму $ \wt S_{kf}(\Xi)$ для функции $ kf(x)$ , значения которой в точках разметки равны $ kf(\ov x_i)$ , то можно будет вынести постоянный множитель $ k$ за знак конечной суммы по номеру отрезка $ i$ :

$\displaystyle \wt S_{kf}(\Xi)=\sum_{i=1}^nkf(\ov x_i)h_i=k\cdot \sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i=k\cdot\wt S_f(\Xi),$

где $ S_f(\Xi)$  -- интегральная сумма для функции $ f$ , вычисленная по тому же размеченному разбиению $ \Xi$ . При измельчении разбиения, то есть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ , левая часть равенства даёт

 

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{kf}(\Xi)=\int_a^bkf(x)\;dx,$

а правая часть --

 

$\displaystyle \lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}k\wt S_{kf}(\Xi)= k\lim_{\mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0}\wt S_{kf}(\Xi)= k\int_a^bkf(x)\;dx,$

причём из существования предела в правой части следует существование предела в левой. Здесь мы воспользовались тем, что постоянный множитель можно выносить за знак предела. Поскольку при переходе к пределу равенство сохранится, мы получим доказываемую формулу.

 

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;