Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Приблеженное вычисление площади криволинейной трапеции

 

Разберёмся теперь с тем, от какой величины и при каком условии вычисляется упомянутый предел, то есть какова база предела. Величина $ \wt S$ зависит, в силу своего определения, во-первых, от выбора точек, которые делят на части отрезок $ [a;b]$ , то есть от набора точек $ X=(x_1;x_2;\dots;x_{n-1})$ , где $ a<x_1<x_2<\dots<x_{n-1}<b$ , а также от выбора промежуточных точек, в которых вычисляются значения функции, то есть набора точек $ \ov X=(\ov x_1;\ov x_2;\dots,\ov x_n)$ , где $ \ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$ . Наборы $ X$ и $ \ov X$ задают размеченное разбиение отрезка $ [a;b]$ : точки $ x_i$ задают разбиение, а точки $ \ov x_i$  -- разметку этого разбиения. Итак, при фиксированной функции $ f$ величина $ \wt S$ зависит от размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$ :

$\displaystyle \wt S=\wt S(X;\ov X)=\wt S(\Xi).$

Величина $ \wt S$ называется интегральной суммой, построенной для функции $ f$ на отрезке $ [a;b]$ по размеченному разбиению $ \Xi$ ; интегральная сумма является функцией от размеченного разбиения и определена на множестве всех размеченных разбиений $ \Xi$ .

Величина, равная длине самого большого из отрезков разбиения $ X$ , называется диаметром разбиения; то же относится и к размеченному разбиению $ \Xi$ . Диаметр размеченного разбиения $ \Xi=(X,\ov X)$ будем обозначать $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)$ или $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)$ . Итак,

$\displaystyle \mathop{\rm diam}\nolimits (X)=\max(x_i-x_{i-1})=\max h_i.$

Если длина каждого из отрезков разбиения меньше некоторого числа $ {\delta}>0$ , то это означает, что $ \mathop{\rm diam}\nolimits (X)<{\delta}$ .

Рассмотрим множество всех размеченных разбиений отрезка $ [a;b]$ . При любом значении $ {\delta}>0$ существуют разбиения с диаметром, меньшим $ {\delta}$ . Достаточно, например, поделить отрезок на $ n$ равных частей, взяв достаточно большое число этих частей: $ n>\frac{b-a}{{\delta}}.$ Значит, множество $ E_{{\delta}}$ размеченных разбиений с диаметром, меньшим $ {\delta}$ , не пусто при любом $ {\delta}>0$ .

Если взять два значения $ {\delta}$ , скажем, $ 0<{\delta}_1<{\delta}_2$ , то очевидно, что каждое разбиение диаметра меньше $ {\delta}_1$ , одновременно имеет диаметр меньше $ {\delta}_2$ , так что $ E_{{\delta}_1}\sbs E_{{\delta}_2}$ , если $ {\delta}_1<{\delta}_2$ . Так что $ E_{{\delta}_1}\cap E_{{\delta}_2}=E_{{\delta}_1}$ .

Вспомним теперь определение базы произвольного предела: база $ \mathcal{B}$ состоит из окончаний $ E$ , таких что все они непусты и если $ E_1,E_2\in\mathcal{B}$ , то существует третье окончание $ E_3\in\mathcal{B}$ , такое что $ E_3\sbs(E_1\cap E_2)$ . Наши множества разбиений $ E_{{\delta}}$ , как мы только что проверили, образуют некоторую базу в множестве всех разбиений отрезка $ [a;b]$ . Действительно, мы проверили, что они непусты и при $ E_1=E_{{\delta}_1}$ и $ E_2=E_{{\delta}_2}$ в качестве $ E_3$ можно взять $ E_1=E_{{\delta}_1}$ , если $ {\delta}_1=\min\{{\delta}_1;{\delta}_2\}$ .

Итак, размеченные разбиения образуют базу $ \mathcal{B}$ в том самом множестве, для элементов которого определены значения интегральной суммы $ \wt S(\Xi)$ . Эту базу мы будем обозначать $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ . Когда мы берём размеченные разбиения со всё меньшим и меньшим диаметром, мы измельчаем деление отрезка на части, и при этом интегральная сумма может иметь предел, который, в случае положительной непрерывной функции $ f$ , равен площади криволинейной трапеции.

 

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;