Приблеженное вычисление площади криволинейной трапеции

Легко видеть также, что при любом выборе точек $\ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$ мы получаем

$\displaystyle \ul S_i\leqslant \wt S_i\leqslant \ov S_i.$

(3.1)

Тогда искомая площадь $S=\sum\limits_{i=1}^nS_i$ приблизительно равна сумме величин $\wt S_i$ :

$\displaystyle S\approx\sum_{i=1}^n\wt S_i=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i,$

и лежит между суммой площадей $\ul S_i$ и $\ov S_i$ :

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\ul y_ih_i\leqslant S\leqslant \sum_{i=1}^n\ov y_ih_i.$

(3.2)

Из неравенства (3.1) следует также, что при любом выборе точек $\ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$ получаем

$\displaystyle \sum_{i=1}^n\ul y_ih_i\leqslant \sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i \leqslant \sum_{i=1}^n\ov y_ih_i.$

(3.3)

Если все отрезки деления имеют малые длины $h_i<{\delta}$ , то в силу непрерывности функции все разности между $\ov y_i$ и $\ul y_i$ будут также малы. Точнее говоря, для любого, как угодно малого ${\varepsilon}>0$ можно найти такое ${\delta}>0$ , что при $h_i<{\delta}$ будет $\ov y_i-\ul y_i<{\varepsilon}$ при всех $i=1,\dots,n$ . Значит, разница между правой и левой частями в (3.2) и (3.3) будет меньше, чем ${\varepsilon}(h_1+h_2+\ldots+h_n)={\varepsilon}(b-a).$ Поскольку при ${\varepsilon}\to0+$ эта величина, очевидно, стремится к 0, то левые и правые части неравенств (3.2) и (3.3) имеют общий предел, который в силу (3.2) равен . По теореме "о двух милиционерах" величина $\wt S=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i$ также имеет пределом число -- искомую площадь области $\mathcal{D}$ .

Теперь заметим, что составить сумму $\wt S=\sum_{i=1}^nf(\ov x_i)h_i$ мы можем не только для положительной непрерывной функции, но для произвольной функции , заданной на .

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;

Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции