Конструкция определённого интеграла и площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим задачу о нахождении площади плоской области $\mathcal{D}$ , ограниченной на координатной плоскости отрезком оси , графиком непрерывной функции , заданной на отрезке , и двумя отрезками вертикальных прямых и , соединяющими точки оси с точками графика (см. рис.).

Рис.3.1.

Заметим, что если графиком служит не прямая линия и не окружность, то в школьном курсе математики не было определено, что такое площадь заданной области $\mathcal{D}$ , так что для таких областей $\mathcal{D}$ мы должны дать определение того, что такое площадь, и это определение должно быть согласовано с тем случаем, когда мы уже знаем, что такое площадь данной фигуры. Эту фигуру $\mathcal{D}$ мы будем в общем случае называть криволинейной трапецией (считая параллельные вертикальные отрезки и её основаниями).

Сначала попробуем найти значение искомой площади приближённо. Для этого разделим область $\mathcal{D}$ на узкие вертикальные полоски $\mathcal{D}_1,\ \mathcal{D}_2,\dots,\mathcal{D}_n$ , проведя вертикальные линии $x=x_1,\ x=x_2,\dots,\ x=x_{n-1}$ ; при этом мы будем считать, что ${x_0=a<x_1<x_2<\ldots<x_{n-1}<x_n=b.}$ Тогда область $\mathcal{D}_i$ лежит между прямыми $x=x_{i-1}$ и , где $i=1,2,\dots,n$ . Обозначим длины отрезков между такими прямыми через : $h_i=x_i-x_{i-1}$ . Очевидно, что площадь области $\mathcal{D}_i$ лежит в пределах от $\ul{S}_i=\ul{y}_ih_i$ до $\ov{S}_i=\ov{y}_ih_i$ , где $\ul{y}_i=\min\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ и $\ov{y}_i=\max\limits_{[x_{i-1};x_i]}f(x)$ (см. рис.), и примерно равна $\wt S_i=f(\ov{x}_i)h_i$ , где $\ov{x}_i$ -- произвольная точка отрезка $[x_{i-1};x_i]$ .

Рис.3.2.

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;