Вычислим интеграл Примеры и задачи

Пример 2.24 Найдём интеграл $\displaystyle \int\frac{1+x}{1+\sqrt{x}}dx.$

Подынтегральная функция является рациональной относительно

и $\sqrt{x}$ , значит, для вычисления интеграла нужно сделать замену $z=\sqrt{x}$ :

$\displaystyle \int\frac{1+x}{1+\sqrt{x}}dx= \left\vert\begin{array}{l} z=\sqr... ...rray}\right\vert= \int\frac{1+z^2}{1+z}\cdot2z\,dz= 2\int\frac{z^3+z}{z+1}dz.$

Разделим числитель на знаменатель столбиком:

$\begin{displaymath} \arraycolsep=0.05em \begin{array}{rrrr@{\,}r\vert l} z^3&... ...{2-3} &&2z\\ &&2z&{}+2\\ \cline{3-4} &&&-2 \end{array} \end{displaymath}$

Получили целую часть

и остаток

. Значит,

$\displaystyle \frac{z^3+z}{z+1}= z^2-z+2-\frac{2}{z+1}.$

Подставляя это выражение под знак интеграла, получаем:

$\displaystyle 2\int\frac{z^3+z}{z+1}dz= 2\int\bigl(z^2-z+2-\frac{2}{z+1}\bigr)dz= \frac{2z^3}{3}-z^2+4z-4\ln\vert z+1\vert+C.$

Осталось вернуться к исходной переменной

: поскольку $z=\sqrt{x}$ , получаем:

$\displaystyle \int\frac{\textstyle{1+x}}{\textstyle{1+\sqrt{x}}}dx= \frac{2x\sqrt{x}}{3}-x+4\sqrt{x}-4\ln(\sqrt{x}+1)+C.$

Интегралы - Примеры и задачи