Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ x$ и $ \sqrt{ax^2+bx+c}$

  Пример 2.18   Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{4-x^2}}.$

 

Подкоренное выражение имеет вид $ m^2-z^2$ , где $ z=x$ и $ m=2$ . Значит, подойдёт замена $ x=2\sin t$ , откуда $ dx=2\cos t\,dt$ и $ \sqrt{4-x^2}=2\cos t$ . Получаем:

$\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{4-x^2}}= \int\frac{2\cos t\,dt}{2\sin t\cdot2\cos t}= \frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sin t}=$   
$\displaystyle =\frac{1}{2}\ln\Bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{t}{2}\Big... ...\ln\Bigl\vert\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{\arcsin\frac{x}{2}}{2}\Bigr\vert+C.$   

    

Во многих случаях предложенные замены -- не единственно возможные и даже, быть может, не самые удачные. Найденный только что интеграл можно было бы вычислить, например, с помощью иной замены, $ z=\frac{1}{x}$ ; эта замена годится для вычисления всех интегралов вида $ \int\frac{\textstyle{dx}}{\textstyle{x\sqrt{ax^2+bx+c}}}$ . Предварительно преобразуем интеграл следующим образом:

 

$\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{4-x^2}}= \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2(\frac{4}{x^2}-1)}}= \int\frac{dx}{x\vert x\vert\sqrt{\frac{4}{x^2}-1}}.$

Заметим, что поскольку $ 4-x^2>0$ и $ x\ne0$ , имеем $ x\in(-2;0)\cup(0;2)$ . Рассматривая случай $ x\in(0;2)$ , когда $ \vert x\vert=x$ , получаем интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{x^2\sqrt{\frac{4}{x^2}-1}}= \left\vert\begin{array... ...{\sqrt{4z^2-1}}=-\frac{1}{2}\ln\Bigl\vert z+\sqrt{z^2-\frac{1}{4}}\Bigr\vert+C=$   
$\displaystyle =-\frac{1}{2}\ln\Bigl\vert\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{4}}\Bigr\vert+C,$   

а в случае $ x\in(-2;0)$ , когда $ \vert x\vert=-x$ , получаем интеграл

$\displaystyle -\int\frac{dx}{x^2\sqrt{\frac{4}{x^2}-1}}= \frac{1}{2}\ln\Bigl\vert\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{4}}\Bigr\vert+C.$   

В итоге получаем

$\displaystyle \int\frac{dx}{x\sqrt{4-x^2}}= -\frac{\mathop{\rm sign}\nolimits x}{2}\ln\Bigl\vert\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}-\frac{1}{4}}\Bigr\vert+C. $

Заметим, что в примере полученный ответ имел (формально) другой вид. Однако напомним, что найденные разными способами первообразные могут различаться на постоянное слагаемое на каждом из интервалов области определения; кроме того, не следует забывать про возможность тождественных преобразований, особенно когда речь идёт о тригонометрических выражениях.

      
     

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;