Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $ x$ и $ \sqrt{ax^2+bx+c}$

Пусть функция $ R(u,v)$ рациональным образом зависит от своих аргументов $ u$ и $ v$ . Рассмотрим интеграл

 

$\displaystyle \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx,$

где квадратный трёхчлен $ ax^2+bx+c$ содержит по крайней мере два ненулевых слагаемых, и $ a\ne0$ ($ a,b,c$  -- некоторые постоянные). Будем считать, что он не равен полному квадрату некоторого линейного выражения, то есть

$\displaystyle ax^2+bx+c\ne z^2,$

где $ z=kx+d$ ($ k$ и $ d$  -- некоторые постоянные), так как иначе квадратный корень извлекается: $ \sqrt{ax^2+bx+c}=\vert z\vert$ , и интеграл сводится к интегралу от рациональной функции переменного $ x$ (при $ z\geqslant 0$ и при $ z\leqslant 0$ получаются разные интегралы!). При этом предположении мы можем выделить в этом квадратном трёхчлене полный квадрат и привести его к одному из трёх возможных видов:
1) $ ax^2+bx+c=m^2-z^2$ ;
2) $ ax^2+bx+c=m^2+z^2$ ;
3) $ ax^2+bx+c=z^2-m^2$ ,
где $ m>0$  -- некоторая постоянная, а $ z=kx+d$  -- линейное выражение. (Четвёртый логически возможный случай, $ ax^2+bx+c=-m^2-z^2$ , означает, что под корнем находится отрицательное выражение, и поэтому рассматриваться не будет.)

Подберём такие тригонометрические замены, чтобы корень извлекался. В первом случае, когда подкоренное выражение равно $ m^2-z^2$ , годится замена $ z=m\sin t$ , где $ t$  -- некоторая новая переменная. Тогда

$\displaystyle \sqrt{m^2-z^2}=\sqrt{m^2(1-\sin^2t)}=m\vert\cos t\vert.$

Достаточно считать, что $ t\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$ , так как при этом переменная $ z$ принимает все возможные для неё значения $ z\in[-m;m]$ . Тогда $ \cos t\geqslant 0$ и $ \vert\cos t\vert=\cos t$ . Получаем, что

$\displaystyle x=\frac{1}{k}(z-d)=\frac{1}{k}(m\sin t-d)$

и

$\displaystyle dx=\frac{m}{k}\cos t\,dt.$

Переходя к новой переменной в интеграле, получим:

$\displaystyle \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx= \int R\Bigl(\frac{1}{k}(m\sin t-d),m\cos t\Bigr)\frac{m}{k}\cos t\,dt= \int R_1(\sin t,\cos t),$

где $ R_1(\sin t,\cos t)$  -- некоторая функция, рациональным образом зависящая от синуса и косинуса. Тем самым вычисление интеграла свелось к уже изученному выше случаю.

Во втором случае, когда подкоренное выражение равно $ m^2+z^2$ , сделаем замену $ {z=m\mathop{\rm tg}\nolimits x}$ . Тогда

$\displaystyle \sqrt{m^2+z^2}=\sqrt{m^2(1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2t)}=\frac{m}{\vert\cos t\vert}.$

Достаточно считать, что $ t\in(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$ , так как при этом переменная $ z$ принимает все возможные значения $ z\in(-\infty;+\infty)$ . Тогда $ \cos t>0$ и $ \vert\cos t\vert=\cos t$ . Интеграл приводится к виду

$\displaystyle \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx= \left\vert\begin{array}{l} x=\fra... ...op{\rm tg}\nolimits t-d)\\ dx=\frac{m\,dt}{k\cos^2t} \end{array}\right\vert=$   
$\displaystyle =\int R\Bigl(\frac{1}{k}(m\mathop{\rm tg}\nolimits t-d),\frac{m}{\cos t}\Bigr)\frac{m}{k\cos^2t}\,dt= \int R_1(\sin t,\cos t)\,dt,$   

где $ R_1(\sin t,\cos t)$  -- некоторая функция, рациональным образом зависящая от синуса и косинуса. Снова вычисление интеграла свелось к изученному случаю.

Наконец, в третьем случае, когда подкоренное выражение равно $ z^2-m^2$ , сделаем замену $ z=\frac{\textstyle{m}}{\textstyle{\cos x}}$ . Тогда

 

$\displaystyle \sqrt{z^2-m^2}=\sqrt{m^2\Bigl(\frac{1}{\cos^2t}-1\Bigr)}=\sqrt{m^2\mathop{\rm tg}\nolimits ^2t}=m\vert\mathop{\rm tg}\nolimits t\vert.$

Достаточно считать, что $ t\in[0;\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2};\pi]$ , так как тогда $ z=\frac{\textstyle{m}}{\textstyle{\cos t}}$ принимает все допустимые значения $ z\in(-\infty;-m]\cup[m;+\infty)$ . Интеграл приводится к виду

$\displaystyle \int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})dx= \left\vert\begin{array}{l} x=\fra... ... tg}\nolimits t-d)\\ dx=\frac{m\sin t\,dt}{k\cos^2t} \end{array}\right\vert=$   
$\displaystyle =\int R\Bigl(\frac{1}{k}(\frac{m}{\cos t}-d),m\vert\mathop{\rm tg}\nolimits t\vert\Bigr)\frac{m\sin t}{k\cos^2t}\,dt= \int R_1(\sin t,\cos t)\,dt,$   

где $ R_1(\sin t,\cos t)$  -- некоторая функция, рациональным образом зависящая от синуса и косинуса И опять вычисление интеграла свелось к изученному случаю.

      

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;