Вычислим интеграл

Пример 2.16 Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}.$

Выполняя замену $t=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ , получаем:

$\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}=\left\vert\begin{array}{l} t=\mathop{\r... ...c{1}{1+t^2}}=\int\frac{dt}{3t^2+4}= \frac{1}{3}\int\frac{dt}{t^2+\frac{4}{3}}=$
$\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{3}}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{\sqrt{3}t}{... ...{3}}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{\sqrt{3}\mathop{\rm tg}\nolimits x}{2}+C.$

Если в том же интеграле сделать универсальную замену, то получаем:

$\displaystyle \int\frac{dx}{3+\cos^2x}= \left\vert\begin{array}{l} t=\mathop{... ...\Bigr)^2}\cdot\frac{2\,dt}{1+t^2}= \frac{1}{2}\int\frac{(1+t^2)dt}{t^4+t^2+1}.$

Получили интеграл от рациональной функции переменного

. Однако вычисление этого интеграла представляется весьма трудоёмким, поскольку непонятно даже, как искать разложение знаменателя на множители. Так что первая замена оказалась много лучше второй.

Замечание 2.5 Замена ${t=\mathop{\rm tg}\nolimits x}$ годится также в случае интеграла $\int R(\sin x,\cos x)\,dx$ , в котором функция

рациональным образом зависит от

и обладает следующим свойством:

$\displaystyle R(-u,-v)=R(u,v).$

Тогда при замене нужно использовать формулы

$\displaystyle \sin x=\pm\frac{\mathop{\rm tg}\nolimits x}{\sqrt{1+\mathop{\rm t... ...x=\pm\frac{1}{\sqrt{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}}=\pm\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}.$

Если же подынтегральная функция $R(\sin x,\cos x)$ зависит от своих аргументов несимметричным образом, то ничего не остаётся делать, как применять не всегда приятную универсальную замену $t=\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}$ .

Пример 2.17 Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x+2\cos x+1}.$

Применяем универсальную замену:

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin x+2\cos x+1}= \left\vert\begin{array}{l} t=\... ...1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{2(1-t^2)}{1+t^2}+1}= -2\int\frac{dt}{t^2-2t-3}=$
$\displaystyle =-2\int\frac{dt}{(t-1)^2-4}= -\frac{1}{2}\ln\left\vert\frac{t-1-... ...}\nolimits \frac{x}{2}-3}{\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}+1}\right\vert+C.$

В данном примере исходная подынтегральная функция была не столь уж сложна, и универсальная замена сразу привела нас к табличному интегралу.

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций