Интегралы от функций, рациональным образом зависящих sin x cos x

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от $\sin x$ и $\cos x$ .

Интегралы вида

$\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\,dx,$

где

-- функция, рациональным образом зависящая от

, можно привести к интегралу от рациональной функции от одного переменного

, если сделать так называемую "универсальную" замену

$\displaystyle t=\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}.$

При этом

$\displaystyle \sin x=\frac{2\mathop{\rm tg}\nolimits \frac{x}{2}}{1+\mathop{\rm... ... ^2\frac{x}{2}}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2\frac{x}{2}}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

и $x=2\mathop{\rm arctg}\nolimits t$ , откуда

$\displaystyle dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}.$

С помощью этих формул исходный интеграл преобразуется к виду

$\displaystyle \int R(\sin x,\cos x)\,dx= \int R\Bigl(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\Bigr)\frac{2\,dt}{1+t^2}= \int R_1(t)\,dt,$

где

$\displaystyle R_1(t)=R\Bigl(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\Bigr)\frac{2}{1+t^2}.$

Нетрудно заметить, что

-- рациональная функция одного переменного

Если имеет место частный случай рациональной зависимости от $\sin x$ и $\cos x$ , когда обе эти функции входят в выражение лишь в чётных степенях, то есть подынтегральная функция имеет вид

$\displaystyle R(\sin^2x,\cos^2x),$

то применять универсальную замену не обязательно: она, как правило, будет приводить к слишком сложным интегралам; в этих случаях гораздо лучше применить другую тригонометрическую замену:

$\displaystyle t=\mathop{\rm tg}\nolimits x.$

В этом случае

$\displaystyle \sin^2x=\frac{\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}{1+\mathop{\rm tg}\nol... ...2}{1+t^2};\ % \cos^2x=\frac{1}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x}=\frac{1}{1+t^2}$

и $x=\mathop{\rm arctg}\nolimits t$ , откуда

$\displaystyle dx=\frac{dt}{1+t^2}.$

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций