Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от и $\sqrt[n]{ax+b}$ .

Рассмотрим интегралы вида

$\displaystyle \int R(x,\sqrt[n]{ax+b})\,dx,$

где

-- рациональная функция от двух переменных

, а выражения

таковы:

, $v=\sqrt[n]{ax+b}$ , и $a\ne0$ .

Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций одного переменного, если сделать естественную замену $v=\sqrt[n]{ax+b}$ . Действительно, тогда $x=\frac{1}{a}(v^n-b)$ и $dx=\frac{n}{a}v^{n-1}dv$ , а интеграл приводится к виду

$\displaystyle {\int} R(x,\sqrt[n]{ax+b})\,dx= {\int} R(\frac{1}{a}(v^n-b),v)\c... ...frac{n}{a}{\int} R(\frac{1}{a}(v^n-b),v)v^{n-1}dv= \frac{n}{a}{\int} R_1(v)dv,$

где

$\displaystyle R_1(v)=R(\frac{1}{a}(v^n-b),v)v^{n-1}.$

Нетрудно заметить, что функция

рационально зависит от единственного своего аргумента

Заметим, что точно та же замена годится и в случае, когда подынтегральная функция зависит рациональным образом только от $v=\sqrt[n]{ax+b}$ .