Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

Интегралы от функций, рациональным образом зависящих от экспоненты.

Рассмотрим интегралы вида

$\displaystyle \int R(e^x)\,dx,$

где $ R(u)=\frac{\textstyle{P(u)}}{\textstyle{Q(u)}}$  -- рациональная функция. Сделаем естественную замену $ u=e^x$ . Тогда $ x=\ln u$ и $ dx=\frac{\textstyle{du}}{\textstyle{u}}$ . Получаем:

 

$\displaystyle \int R(e^x)\,dx=\int R(u)\cdot\frac{du}{u}=\int R_1(u)\,du, $

где $ R_1(u)=\frac{\textstyle{R(u)}}{\textstyle{u}}$ . Заметим, что $ R_1(u)=\frac{\textstyle{P(u)}}{\textstyle{uQ(u)}}$  -- это тоже рациональная функция, так как $ uQ(u)$  -- тоже многочлен. Таким образом, мы свели дело к вычислению интеграла от рациональной функции $ \int R_1(u)\,du$ , после нахождения которого нужно сделать замену $ u=e^x$ и получить ответ.

        Пример 2.14   Найдём интеграл

 

$\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx.$

Выполняя естественную замену $ u=e^x$ , получаем:

 

$\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx= \int\frac{u+1}{u^3-2u^2+u}\cdot\frac{du}{u}= \int\frac{u+1}{u^2(u-1)^2}\,du.$

Подынтегральную дробь разложим в сумму простейших дробей. Разложение будет иметь вид

 

$\displaystyle \frac{u+1}{u^2(u-1)^2}= \frac{A}{u^2}+\frac{B}{u}+\frac{C}{(u-1)^2}+\frac{D}{u-1}.$

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и приравнивая числители, получаем:

 

$\displaystyle u+1=A(u-1)^2+Bu(u-1)^2+Cu^2+Du^2(u-1).$

При "удобном" значении $ u=1$ получаем $ 2=C\cdot1^2$ , откуда

 

$\displaystyle C=2.$

При "удобном" значении $ u=0$ получаем $ 1=A\cdot(-1)^2$ , откуда

 

$\displaystyle A=1.$

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $ u$ : при $ u^3$ получаем:

 

$\displaystyle 0=B+D,$

а при $ u^2$  --

 

$\displaystyle 0=A-2B+C-D,$

или

$\displaystyle 2B+D=3.$

Решая получившуюся систему уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} B+D=0;\\ 2B+D=3, \end{array} \right. $

находим $ B=3$ , $ D=-3$ . Значит, искомое разложение имеет вид

$\displaystyle \frac{u+1}{u^2(u-1)^2}= \frac{1}{u^2}+\frac{3}{u}+\frac{2}{(u-1)^2}-\frac{3}{u-1},$

и

$\displaystyle \int\frac{e^x+1}{e^{3x}-2e^{2x}+e^x}dx= \int\frac{u+1}{u^2(u-1)^... ...nt\frac{du}{u^2}+3\int\frac{du}{u}+2\int\frac{du}{(u-1)^2}-3\int\frac{du}{u-1}=$   
$\displaystyle =-\frac{1}{u}+3\ln\vert u\vert-\frac{2}{u-1}-3\ln\vert u-1\vert+C= -\frac{1}{e^x}+3\ln e^x-\frac{2}{e^x-1}-3\ln\vert e^x-1\vert+C=$   
$\displaystyle =-e^{-x}+3x-\frac{2}{e^x-1}-3\ln\vert e^x-1\vert+C.$   

    

        Упражнение 2.1   Запишите промежутки, на которых кусочно постоянная функция $ C$ принимает постоянные значения. Сколько получается таких промежутков?     

 

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;