Рациональные функции и их интегрирование Замечание

Замечание 2.4 Если исходная правильная дробь является чётной функцией от

, то есть содержит в числителе и знаменателе одни лишь чётные степени

, то и в правой части разложения достаточно оставить одни лишь чётные относительно

слагаемые. Действительно, если дробь имеет вид $R(x)=\frac{\textstyle{P(x^2)}}{\textstyle{Q(x^2)}}$ , где

-- многочлены от переменного

, то мы можем разложить на сумму простейших дробей правильную дробь $\frac{\textstyle{P(z)}}{\textstyle{Q(z)}}$ , а потом подставить в каждом из слагаемых разложения

вместо

. Очевидно, что тогда все эти слагаемые, зависящие только от

, будут чётными функциями. Например, разложение правильной дроби

$\displaystyle R(x)=\frac{x^2-1}{x^2(x^2+1)}$

следует отыскивать в виде

$\displaystyle R(x)=\frac{x^2-1}{x^2(x^2+1)}=\frac{A}{x^2}+\frac{B}{x^2+1},$ Криволинейный интеграл II рода (по координатам) Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

а не в виде

$\displaystyle R(x)=\frac{x^2-1}{x^2(x^2+1)}=\frac{A}{x^2}+\frac{A'}{x}+ \frac{B'x+B}{x^2+1},$

поскольку слагаемые $\frac{\textstyle{A'}}{\textstyle{x}}$ и $\frac{\textstyle{B'x}}{\textstyle{x^2+1}}$ -- нечётные функции от

. Тем самым нам надо будет отыскать всего два неизвестных коэффициента

вместо четырёх: $A,\ A',\ B'$ и

Точно так же, в случае когда -- нечётная функция от , в искомом разложении можно оставить одни лишь нечётные слагаемые: например, разложение дроби

$\displaystyle R(x)=\frac{x^3+3x}{(x^2+1)(x^2+4)}$

следует искать в виде

$\displaystyle R(x)=\frac{x^3+3x}{(x^2+1)(x^2+4)}=\frac{Ax}{x^2+1}+\frac{Bx}{x^2+4}$

вместо

$\displaystyle R(x)=\frac{x^3+3x}{(x^2+1)(x^2+4)}=\frac{Ax+A'}{x^2+1}+\frac{Bx+B'}{x^2+4},$

сэкономив на поиске чётных слагаемых $\frac{\textstyle{A'}}{\textstyle{x^2+1}}$ и $\frac{\textstyle{B'}}{\textstyle{x^2+4}}$ , коэффициенты которых

всё равно окажутся равны 0.

Разобранный выше пример 2.11 показывает, что после разложения правильной дроби в сумму простейших дробей интегрирование сводится к интегрированию полученных простейших дробей. Разберём интегрирование всех четырёх типов простейших дробей по порядку.

Интегрирование простейшей дроби первого типа сводится к применению табличной формулы:

$\displaystyle \int\frac{A}{x-x_0}dx=A\ln\vert x-x_0\vert+C.$

Интегрирование простейшей дроби второго типа сводится к табличной формуле после замены вида :

$\displaystyle \int\frac{A}{(x-x_0)^k}dx=A\int z^{-k}dz=A\cdot\frac{1}{-k+1}z^{-k+1}+C= -\frac{A}{k-1}\cdot\frac{1}{(x-x_0)^{k-1}}+C.$

Интегрирование простейшей дроби третьего типа выполняется с помощью выделения в знаменателе полного квадрата и разбиения интеграла на два слагаемых, которые вычисляются как было показано выше в примере:

$\displaystyle \int\frac{Ax+B}{x^2+px+q}dx= \left\vert\begin{array}{l} z=x+\frac{p}{2}\\ dz=dx\\ x=z-\frac{p}{2} \end{array}\right\vert=$
$\displaystyle =\int\frac{Az+B'}{z^2+a^2}dz=\frac{A}{2}\int\frac{2z\,dz}{z^2+a^2... ... \frac{A}{2}\ln(z^2+a^2)+\frac{B'}{a}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{z}{a}+C,$

где $a=\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}$ и $B'=B-\frac{Ap}{2}$ . Осталось подставить $z=x+\frac{p}{2}$ :

$\displaystyle \int\frac{Ax+B}{x^2+px+q}dx= \frac{A}{2}\ln(x^2+px+q)+\frac{B-\f... ...}} \mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}}+C.$

Разумеется, заучивать полученную формулу не нужно, а нужно научиться выполнять для конкретных примеров все указанные преобразования.

Интегрирование простейшей дроби четвёртого типа также начинается с выделения в знаменателе полного квадрата и замены $z=x+\frac{p}{2}$ , после чего интеграл $\int\frac{\textstyle{Ax+B}}{\textstyle{(x^2+px+q)^l}}dx$ приводится к виду $\int\frac{\textstyle{Az+B'}}{\textstyle{(z^2+a^2)^l}}dz$ , где . Разбиваем этот интеграл на два слагаемых:

$\displaystyle \int\frac{Az+B'}{(z^2+a^2)^l}dz= \frac{A}{2}\int\frac{2z\,dz}{(z^2+a^2)^l}+ B'\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^l}.$

Первый из интегралов легко вычисляется заменой

$\displaystyle \int\frac{2z\,dz}{(z^2+a^2)^l}=\ln(z^2+a^2)+C.$

Для второго интеграла,

$\displaystyle I_l=\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^l},$

мы можем получить формулу понижения степени, если преобразуем его следующим образом:

$\displaystyle I_l=\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^l}=\frac{1}{a^2}\int\frac{a^2}{(z^2+a^2)^l}dz= \frac{1}{a^2}\int\frac{(z^2+a^2)-z^2}{(z^2+a^2)^l}dz=$	(2.4*)
$\displaystyle =\frac{1}{a^2}\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^{l-1}}- \frac{1}{a^2}\int\... ...^2+a^2)^l}dz= \frac{1}{a^2}I_{l-1}-\frac{1}{a^2}\int\frac{z^2}{(z^2+a^2)^l}dz.$	(2.5)

Последний интеграл преобразуем, применив формулу интегрирования по частям:

$\displaystyle \int\frac{z^2}{(z^2+a^2)^l}dz=\left\vert\begin{array}{l} u=z\\ ... ...c{z\,dz}{(z^2+a^2)^l}=-\frac{1}{2(l-1)(z^2+a^2)^{l-1}} \end{array}\right\vert=$
$\displaystyle =-\frac{z}{2(l-1)(z^2+a^2)^{l-1}}+\frac{1}{2(l-1)}\int\frac{dz}{(z^2+a^2)^{l-1}}= -\frac{z}{2(l-1)(z^2+a^2)^{l-1}}+\frac{1}{2(l-1)}I_{l-1} .$

Подставив это выражение в (2.4*), получаем:

$\displaystyle I_l=\frac{1}{a^2}I_{l-1}-\frac{1}{a^2}\Bigl( -\frac{z}{2(l-1)(z^2+a^2)^{l-1}}+\frac{1}{2(l-1)}I_{l-1}\Bigr).$

Это и есть формула понижения степени, сводящая вычисление интеграла

к вычислению интеграла $I_{l-1}$ . Если

, то интеграл $I_{l-1}=I_1=\int\frac{\textstyle{dz}}{\textstyle{z^2+a^2}}=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{a}}\mathop{\rm arctg}\nolimits \frac{\textstyle{z}}{\textstyle{a}}+C$ -- табличный; если же

, то для вычисления $I_{l-1}$ нужно снова применить формулу понижения степени, и так до тех пор, пока не получится тот же табличный интеграл