Разложим на множители многочлен третьей степени

Пример 2.10 Разложим на множители многочлен третьей степени ${Q(x)=x^3+3x^2+2x+6}$ .

Проверим, нет ли у него целых корней. Если есть, то этот корень должен быть одним из делителей свободного члена, то есть числа 6. Эти делители равны $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$ . Подставляем эти числа в по порядку:

$\displaystyle Q(1)=1-3+2+6\ne0;Q(-1)=-1-3-2+6=0.$

Натолкнулись на корень многочлена, который оказался равным

. Значит,

делится без остатка на бином

. Выполним это деление "столбиком":

$\begin{displaymath} \arraycolsep=0.05em \begin{array}{rrrr@{\,}r\vert l} x^3&... ...} &&6x&{}+6\\ &&6x&{}+6\\ \cline{3-4} &&&0 \end{array} \end{displaymath}$

Значит,

$\displaystyle Q(x)=(x+1)(x^2-4x+6).$

Корни частного, то есть квадратного трёхчлена

, найдём обычным способом:

$\displaystyle x_{2,3}=2\pm\sqrt{4-6}=2\pm i\sqrt{2}.$

Эти два корня оказались комплексными, так что искомое разложение многочлена

на вещественные линейные и квадратичные множители уже получено: это ${Q(x)=(x+1)(x^2-4x+6)}$ . Кратности как корня

, так и пары корней ${x_{2,3}=2\pm i\sqrt{2}}$ , оказались равными 1.

Итак, предположим, что нам дана правильная рациональная дробь

$\displaystyle R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.$

Её знаменатель

после разложения на множители может содержать множители следующих четырёх видов:

(если кратность корня

равна 1); $(x-x_j)^{k_j}$ , где $k_j\geqslant 2$ (эти множители соответствуют вещественным корням кратности больше 1);

(если кратность комплексных корней ${\alpha}_j+i{\beta}_j$ равна 1) и, наконец, $(x^2+p_jx+q_j)^{l_j}$ (если кратность комплексных корней ${\alpha}_j+i{\beta}_j$ больше 1).

Каждому из указанных типов множителей знаменателя соответствуют простейшие рациональные дроби, а именно:

$\frac{\textstyle{A}}{\textstyle{x-x_j}}$ -- простейшая дробь первого типа;

$\frac{\textstyle{A}}{\textstyle{(x-x_j)^k}}$ , где , -- простейшая дробь второго типа;

$\frac{\textstyle{Ax+B}}{\textstyle{x^2+p_jx+q_j}}$ -- простейшая дробь третьего типа;

$\frac{\textstyle{Ax+B}}{\textstyle{(x^2+p_jx+q_j)^l}}$ , где , -- простейшая дробь четвёртого типа.
Здесь и -- некоторые постоянные.

Любая правильная дробь раскладывается в сумму простейших дробей указанных четырёх типов.

Если в знаменателе дроби имеется множитель , то разложение будет содержать слагаемое в виде простейшей дроби первого типа $\frac{\textstyle{A}}{\textstyle{x-x_j}}$ , где -- некоторое число.

Если имеется множитель $(x-x_j)^{k_j}$ , где $k_j\geqslant 2$ , то разложение будет содержать серию слагаемых, в количестве штук, вида $\frac{\textstyle{A_k}}{\textstyle{(x-x_j)^k}}$ , где $k=k_j,k_j-1,\dots,1$ , -- это простейшие дроби второго и (последняя) первого типа. (Следует заметить, однако, что непременно присутствует в разложении лишь слагаемое со старшей степенью, равной ; может оказаться, что некоторые, или даже все, остальные слагаемые имеют числители .)

Если в знаменателе имеется множитель ${x^2+p_jx+q_j}$ , то разложение будет содержать слагаемое, равное соответствующей простейшей дроби третьего типа, $\frac{\textstyle{Ax+B}}{\textstyle{x^2+p_jx+q_j}}$ , где и -- некоторые числа.

Наконец, если имеется множитель $(x^2+p_jx+q_j)^{l_j}$ , где $l_j\geqslant 2$ , то разложение будет содержать серию слагаемых, в количестве штук, вида $\frac{\textstyle{A_kx+B_k}}{\textstyle{(x^2+p_jx+q_j)^l}}$ , где ${l=l_j,l_j-1,\dots,1}$ ; -- это простейшие дроби четвёртого и (последняя) третьего типа. В разложении непременно присутствует лишь слагаемое со старшей степенью, равной , а остальные слагаемые могут в некоторых случаях оказаться равными 0.

Сказанное можно выразить формулой, дающей разложение правильной дроби в сумму простейших дробей:

$\displaystyle R(x)=\sum_{j=1}^s\sum_{k=1}^{k_j}\frac{A_{jk}}{(x-x_j)^k}+ \sum_{j=1}^s\sum_{l=1}^{l_j}\frac{C_{jl}x+B_{jl}}{(x^2+p_jx+q_j)^l},$

(2.4)

где $A_{jk},C_{jl},B_{jl}$ -- некоторые постоянные. Эти постоянные отыскивают методом неопределённых коэффициентов, выписав разложение (2.4) в соответствии с видом разложения на множители знаменателя

дроби

Для отыскания неизвестных постоянных методом неопределённых коэффициентов нужно, выписав разложение в сумму простейших дробей по формуле (2.4), привести к общему знаменателю сумму, стоящую в правой части. Заметим, что этот общий знаменатель, очевидно, равен . Получим, что в левой и правой части равенства стоят дроби с одинаковыми знаменателями; значит, и числители у них также тождественно равны. Числитель в правой части содержит неизвестные постоянные $A_{jk},C_{jl},B_{jl}$ , а числитель левой части -- нет.

Далее можно действовать одним из двух способов: либо, воспользовавшись тем, что числители тождественно равны друг другу, подставлять в тот и в другой некоторые "удобные" значения и получать значения постоянных или линейные уравнения, которым они удовлетворяют; либо приравнивать друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях в числителях левой и правой частей: эти коэффициенты также совпадают вследствие тождественности числителей. Это также будет давать линейные уравнения, которым должны удовлетворять неизвестные коэффициенты. Оба описанных способа получения соотношений между коэффициентами можно комбинировать друг с другом так, чтобы найти коэффициенты наиболее удобным способом.

Рациональные функции и их интегрирование