Интегралы - Формула понижения степени Примеры

Пример 2.7 Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}.$

Здесь

. После однократного применения формулы понижения степени (2.2), дело сведётся к нахождению интеграла $I_2=\int\frac{dx}{\cos^2x}=\mathop{\rm tg}\nolimits x+C$ . Итак,

$\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}=I_4=\frac{2}{3}I_2 +\frac{\sin x}{3\cos^3x}= \frac{2}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{\sin x}{3\cos^3x}+C.$

Вычислить криволинейный интеграл первого рода Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Замечание 2.2 Приведённый в этом примере способ вычисления интеграла

и подобных ему -- не единственно возможный. Если записать подынтегральное выражение в виде

$\displaystyle \frac{dx}{\cos^4x}=\frac{1}{\cos^2x}\cdot\frac{dx}{\cos^2x}$

и заметить, что $\frac{1}{\cos^2x}=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x$ и $\frac{dx}{\cos^2x}=d\mathop{\rm tg}\nolimits x$ , то получим равенство

$\displaystyle \int\frac{dx}{\cos^4x}=\int(1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2x)d\math... ...t^3}{3}+C=\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{1}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits ^3x+C,$

где $t=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ . Первообразные в этих двух ответах тождественно равны друг другу:

$\displaystyle \frac{2}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{\sin x}{3\cos^3x}= \... ...mits ^2x)= \mathop{\rm tg}\nolimits x+\frac{1}{3}\mathop{\rm tg}\nolimits ^3x.$

Пример 2.8 Для вычисления интеграла

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}$

формулу (2.3) нужно будет применить два раза подряд:

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sin^5x}=J_5= \frac{3}{4}J_3-\frac{\cos x}{4\sin^4x}=$
$\displaystyle =\frac{3}{4}\Bigl(\frac{1}{2}J_1-\frac{\cos x}{2\sin^2x}\Bigr)- ... ...its \frac{x}{2}\Bigr\vert- \frac{3\cos x}{8\sin^2x}-\frac{\cos x}{4\sin^4x}+C.$