Интегралы от произведений синусов и косинусов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований

Интегралы от произведений синусов и косинусов.

Пример 2.5 Найдём интеграл $\displaystyle \int\cos^4x\,dx.$

Подынтегральную функцию можно преобразовать, понизив степень:

$\displaystyle \cos^4x=(\cos^2x)^2=\frac{1}{4}(1+\cos2x)^2= \frac{1}{4}(1+2\cos2x+\cos^22x)=$
$\displaystyle =\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos2x+ \frac{1}{8}(1+\cos4x)=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{8}\cos4x.$

Поэтому Криволинейный интеграл первого рода Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

$\displaystyle \int\cos^4x\,dx= \frac{3}{8}\int\,dx+\frac{1}{2}\int\cos2x\,dx+ \frac{1}{8}\int\cos4x\,dx=$
$\displaystyle =\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\sin2x+ +\frac{1}{32}\sin4x+C.$

В более сложных случаях преобразовывать подынтегральную функцию можно разными способами и, соответственно, по-разному сводить исходный интеграл к табличным. Следует помнить, однако, что формально различные первообразные на самом деле либо совпадают, либо различаются на постоянное слагаемое. Приведём пример, в котором разные преобразования приводят к несовпадающим ответам.

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности

Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;