Интегралы от произведений синусов и косинусов Примеры

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований

Интегралы от произведений синусов и косинусов.

Пример 2.4 Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}dx.$

Отделяя один множитель $\cos x$ от нечётной степени и объединяя с

, мы видим, что подынтегральное выражение зависит только от $\sin x$ ; это означает, что нужно сделать замену $s=\sin x$ :

$\displaystyle \int\frac{\cos^3x}{1+\sin^2x}dx= \int\frac{\cos^2x}{1+\sin^2x}(\cos x\,dx)= \int\frac{1-\sin^2x}{1+\sin^2x}d(\sin x)= \int\frac{1-s^2}{1+s^2}ds.$ Функция нескольких переменных и ее частные производные Определение функции нескольких переменных Если каждой паре (x, y) значений двух независимых друг от друга переменных x и y из некоторого множества D соответствует определённое значение величины z, то говорят, что z есть функция двух независимых переменных x и y, определённая на множестве D. Множество D называется областью определения функции z = z (x, y). Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

Выделим в рациональной дроби $\frac{\textstyle{1-s^2}}{\textstyle{1+s^2}}$ целую часть:

$\displaystyle \frac{1-s^2}{1+s^2}=\frac{-(s^2+1)+2}{s^2+1}=-1+2\cdot\frac{1}{s^2+1}.$

После этого получаем:

$\displaystyle \int\frac{1-s^2}{1+s^2}ds=\int\Bigl(-1+2\cdot\frac{1}{s^2+1}\Bigr... ...thop{\rm arctg}\nolimits s+C=-\sin x+2\mathop{\rm arctg}\nolimits (\sin x)+C.$

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности

Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;