Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований

Интегралы от произведений синусов и косинусов.

Пример 2.3 Найдём интеграл $\displaystyle \int\sin^3x\cos^2x\,dx.$

Отделяя один множитель $\sin x$ от нечётной степени и объединяя с дифференциалом, получаем:

$\displaystyle \int\sin^3x\cos^2x\,dx= \int\sin^2x\cos^2x\,(\sin x\,dx)= \int(1-\cos^2x)\cos^2x\,\Bigl(-d(\cos x)\Bigr)=$
$\displaystyle =-\int(1-c^2)c^2\,dc= -\int(c^2-c^4)dc=-\frac{c^3}{3}+\frac{c^5}{5}+C= -\frac{\cos^3x}{3}+\frac{\cos^5x}{5}+C,$

где $c=\cos x$ .

в). Заметим, что этот же способ годится и для упрощения интегралов вида Изобразить на плоскости фигуру D. Вычислить массу пластины О с поверхностной плотностью распределения μ=μ(х, у). Рекомендуется использовать полярную систему координат. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

$\displaystyle \int\sin^mx\;g(\cos x)\;dx$ и $\displaystyle \int\cos^nx\;g(\sin x)\;dx,$

если

-- нечётные положительные числа.

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;