Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований

Интегралы от произведений синусов и косинусов.

Расмотрим теперь интегралы вида $\displaystyle \int\sin^mx\cos^nx\,dx,$

где хотя бы одно из чисел

-- нечётное положительное. Такие интегралы вычисляются заменой $s=\sin x$ , если нечётна степень косинуса, или $c=\cos x$ , если нечётна степень синуса. Действительно, пусть

-- нечётное число. Запишем $\cos^nx\,dx$ как

$\displaystyle \cos^{n-1}x\cdot(\cos x\,dx)= \cos^{n-1}x\cdot d(\sin x),$

а оставшуюся чётную степень косинуса, $\cos^{n-1}x$ , выразим через синус с помощью формулы Поверхностный интеграл второго рода К понятию поверхностного интеграла 2-го рода приводит физическая задача о вычислении потока жидкости через некоторую поверхность S. При этом, в каждой точке поверхности S задаётся векторная функция

(x,y,z) скорости жидкости. Поверхность S называется двусторонней, если нормаль к поверхности при обходе по любому замкнутому контуру, лежащему на поверхности S, возвращается в первоначальное положение. Сторона поверхности S задаётся выбором направления нормали к поверхности, в этом случае поверхность называется ориентированной. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

$\displaystyle \cos^2x=1-\sin^2x.$

Получим интеграл

$\displaystyle \int\sin^mx\cos^nx\,dx=\int\sin^mx(1-\sin^2x)^{\frac{n-1}{2}}d(\sin x)= \int s^m(1-s^2)^{\frac{n-1}{2}}\,ds.$

После раскрытия скобок этот интеграл легко вычисляется. Аналогично нужно поступать и в случае нечётной степени

, используя равенство $\sin x\,dx=-d(\cos x)$ .

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;