Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований

Интегралы от произведений синусов и косинусов.

Интегралы от произведений синусов и косинусов с разными аргументами, линейно зависящими от $ x$ , упрощаются, если применить тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму:

$\displaystyle \sin{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}\bigl(\cos({\alpha}-{\beta})-\cos({\alpha}+{\beta})\bigr);$   
$\displaystyle \sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\bigl(\sin({\alpha}-{\beta})+\sin({\alpha}+{\beta})\bigr);$   
$\displaystyle \cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}\bigl(\cos({\alpha}-{\beta})+\cos({\alpha}+{\beta})\bigr).$   
Поверхностный интеграл первого рода Пусть f(x,y,z) - функция, непрерывная на гладкой поверхности S. (Поверхность называется гладкой, если в каждой её точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности). Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

        Пример 2.2   Вычислим интеграл

$\displaystyle \int\cos5x\sin7x\,dx.$

Преобразуем произведение $ \cos5x\sin7x$ в сумму:

$\displaystyle \cos5x\sin7x= \frac{1}{2}\bigl(\sin(7x-5x)+\sin(7x+5x)\bigr)= \frac{1}{2}\bigl(\sin2x+\sin12x\bigr). $

Тогда

$\displaystyle \int\cos5x\sin7x\,dx= \frac{1}{2}\int\bigl(\sin2x+\sin12x\bigr)dx=$   
$\displaystyle =\frac{1}{2}\bigl(-\frac{\cos2x}{2}-\frac{\cos12x}{12}\bigr)+C= -\frac{\cos2x}{4}-\frac{\cos12x}{24}+C.$   

    


Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;