Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований

Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен.

 

 Пример 2.1   Вычислим интеграл $\displaystyle \int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx.$

 

В подкоренном выражении выделим полный квадрат:

 

$\displaystyle 4x^2+4x+5=4\Bigl(x^2+2x\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\Bigr)+ \Bigl... ...r)= 4\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2+4=4\Bigl(\bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2+1\Bigr).$

Делаем замену $ z=x+\frac{1}{2}$ :

$\displaystyle \int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx= \left\vert\begin{array}{l} ... ...d{array}\right\vert= \frac{1}{2}\int\frac{3(z-\frac{1}{2})+5}{\sqrt{z^2+1}}dz=$ Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике    
$\displaystyle =\frac{3}{2}\int\frac{z\,dz}{\sqrt{z^2+1}}+ \frac{7}{4}\int\frac{dz}{\sqrt{z^2+1}}.$(2.1)

В первом из двух интегралов сделаем ещё одну замену, $ u=z^2+1$ :

 

$\displaystyle \int\frac{z\,dz}{\sqrt{z^2+1}}= \left\vert\begin{array}{l} u=z^... ...ac{1}{2}\cdot\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C=\sqrt{u}+C= \sqrt{z^2+1}+C.$

Второй интеграл -- табличный:

 

$\displaystyle \int\frac{dz}{\sqrt{z^2+1}}= \ln\vert z+\sqrt{z^2+1}\vert+C.$

Продолжая равенство (2.1) и возвращаясь к исходной переменной $ x$ , получаем:

\begin{multline*} \int\frac{3x+5}{\sqrt{4x^2+4x+5}}dx= \frac{3}{2}\sqrt{z^2+1}... ...igl\vert x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{4x^2+4x+5}\Bigr\vert+C. \end{multline*}

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Нахождение неопределённых интегралов

 

;