Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований

1. Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен. Рассмотрим интегралы, подынтегральная функция в которых содержит квадратный трёхчлен , где $a\ne0,\ b,\ c$ -- некоторые постоянные, вида

$\displaystyle \int\frac{Mx+N}{ax^2+bx+c}dx$ и $\displaystyle \int\frac{Mx+N}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx.$

(Заметим, что в числителе дроби должно стоять линейное выражение

, где

-- постоянные; при этом какой-либо из постоянных не запрещается быть равной 0.)

Такие интегралы приводятся к табличным следующим способом. Нужно выделить из квадратного трёхчлена выражение, равное полному квадрату, сделав такое преобразование: С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, ограниченную заданными линиями. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике

$\displaystyle ax^2+bx+c=a\bigl(x^2+2x\cdot\frac{b}{2a}+\bigl(\frac{b}{2a}\bigl)... ...2a}\bigl)^2\bigl)= a\bigl(x+\frac{b}{2a}\bigl)^2+\bigl(c-\frac{b^2}{4a}\bigl).$

После этого сделаем линейную замену $z=x+\frac{b}{2a}$ и получим интеграл одного из видов:

$\displaystyle \int\frac{mz+n}{z^2+d^2}\,dz;\ % \int\frac{mz+n}{z^2-d^2}\,dz;\ % \int\frac{mz+n}{\sqrt{z^2\pm d^2}}\,dz;\ % \int\frac{mz+n}{\sqrt{d^2-z^2}}\,dz$

при некоторых постоянных

. Далее разбиваем интеграл на два слагаемых и в первом, в числителе подынтегральной функции содержащем

, делаем замену ${u=z^2+d^2}$ , ${u=z^2-d^2}$ или ${u=d^2-z^2}$ , согласно тому, что стоит в знаменателе. После этого первое слагаемое приводится к табличному интегралу. Второе слагаемое, с

в числителе подынтегральной функции, тоже даёт табличный интеграл.

Главы учебника "Высшая математика в примерах и задачах"

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение первообразной и её свойства
Неопределённый интеграл и таблица неопределённых интегралов Тройной интеграл в цилиндрических координатах Цилиндрические координаты при вычислении тройного интеграла удобно применять тогда, когда область V проектируется на одну из координатных плоскостей в круг или часть круга. Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике
Свойства неопределённого интеграла
Приближённое нахождение первообразных Предел последовательности
Нахождение неопределённых интегралов

Интегрирование некоторых классов функций при помощи элементарных преобразований
Формула понижения степени
Интегралы, сводящиеся к интегралам от рациональных функций

;