Функции нескольких переменных и их дифференцирование
знакомства для секса Конспекты по ТОЭ | Лабораторные работы | Основы ТОЭ | Электрические цепи | Функции | Производные | Матрицы | Алгебра | Первообразная | Интегралы | Геометрия | Комплексные числа | Задачи Баланс мощностей | Постоянного тока | На главную

ftoe.ru

Инженерная и Web графика
Электротехника

Конспекты по ТОЭ

Расчеты цепей
Основы электротехники
Электрическая цепь
Цепи синусоидального тока
Баланс мощностей
Переходные процессы
Цепи переменного тока ТОЭ
Цепи постоянного тока
Электромагнитная индукция
Сборник заданий по ТОЭ
Лабораторные работы
Постоянный и переменный ток
Расчет электрических цепей
Физика
Электронный конструктор
Лабораторные работы
Ядерная и атомная физика
Электромагнитное взаимодействие
Электростатическое поле
Лекции Электростатика
Конструктивные материалы
Энергетика световых волн
Прохождение света
Оптические системы
Оптические изображения
Основы оптики
Практические занятия
Аберрации оптических систем
Лабораторные работы
Аппаратные средства
персонального компьютера
Справочные материалы
Математика
Курсовые,
контрольные по математике

Функции и их графики

Найти объем тела
Производные и дифференциалы
Математический анализ
Матрицы, примеры
Нахождение корней уравнений
Векторная алгебра
Кривые и поверхности
Первообразная
Интегралы
Неопределенные интегралы
Определенные интегралы
Несобственные интегралы
Вычисление интегралов
Геометрические вычисления
Линейная алгебра
Аналитическая геометрия
Дискретная математика
Дифференцирование функции
Градиент и производная

Открытые и замкнутые области

Пример Следующие подмножества пространства $ \mathbb{R}^n$ являются открытыми областями:

Пример Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ , очевидно, не имеет ни одной граничной точки, так что $ \partial\mathbb{R}^n=\varnothing $ .

Пример Всё пространство $ \mathbb{R}^n$ является замкнутой областью, так как его граница пуста.

Связные множества Если звенопространственной коммутации является неблокирующейся коммутационной схемой, то блокировка в схеме ПВП может возникать в тех случаях, когда нет свободных внутренних временных интервалов звена пространственной коммутации, в течение которых промежуточная соединительная линия, ведущая от входящего звена временной коммутации, и промежуточная соединительная линия, ведущая к исходящему звену временной коммутации, одновременно свободны Вычисление площади криволинейной поверхности ПРИМЕР. Вычислить площадь частей сферы , лежащих внутри цилиндра .

Вычислить интеграл , где  – призма, ограниченная координатными плоскостями , ,  и плоскостью . Определенный интеграл Вычисление определенного интеграла Примеры решения и офомления задач контрольной работы по высшей математике Вычислить интеграл . Решение. Для того, чтобы вычислить данный интеграл, воспользуемся основной тригонометрической заменой:

Вычислить интеграл , где   – шаровое кольцо .

Пример Пусть $ {\Omega}$  -- область в $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ (x_1;x_2)$ , заданная условием $ x_1\ne0$ . Эта область состоит из двух открытых полупространств $ \{x_1<0\}$ и $ \{x_1>0\}$ (и, тем самым, открыта). Покажем, что область $ {\Omega}$ не связна.

График функции нескольких переменных

Пределы функций нескольких переменных

Пример   Пусть $ {\delta}>0$ . Назовём $ {\delta}$ -окрестностью точки $ x^0\in\mathbb{R}^n$ открытый шар $ B^{x^0}_{{\delta}}$ радиуса $ {\delta}$ с центром в точке $ x^0$ . Множество всех таких шаров образует, как нетрудно видеть, базу окрестностей точки $ x^0$ .

Пример

Непрерывность функции

Теорема

Ограничения функции на данное множество

Пример Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ , заданную на плоскости $ x_1Ox_2$ , и окружность $ {\omega}=\{x_1^2+x_2^2=R^2\}$

Свойства функций, непрерывных в области

Теорема (о промежуточном значении)   Пусть функция $ f$ непрерывна в связной области $ {\Omega}$ .

Частные производные

Вычислим частные производные функции двух переменных

    Пример   Рассмотрим функцию, заданную при $ x=(x_1;x_2)\in\mathbb{R}^2$

Частные производные высших порядков

Найдём частные производные второго порядка

Дифференцируемость функции и дифференциал

Определение

Связь дифференциала с частными производными

 Пример  Найдём дифференциал функции трёх переменных

Теорема  Пусть функция $ f(x)$ имеет в некоторой окрестности точки $ x^0$ частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x)$

Замечание

Производная сложной функции

Пример Пусть координаты $ x_1,x_2,x_3$ зависят от $ u_1,u_2$ следующим образом: $\displaystyle x_1=\sin^2u_1; x_2=\sin u_1\cos u_2; x_3=\cos^2u_2.$

Инвариантность дифференциала

Равенство смешанных частных производных

Следствие   Пусть даны две частные производные

Пример   Если две производных $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$ и $\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

Теорема о неявной функции

Пример  Рассмотрим уравнение $\displaystyle g(x;y)=x^2+y^2=0$

 Пример   Равенство $\displaystyle g(x;y)=x^2-y^2=0$

Производные неявно заданной функции

Пример   Пусть функция $ z={\varphi}(x;y)$ задана неявно уравнением $\displaystyle x^3yz+xy^2z^3-2x^2y^2z^4+2=0$

Выпуклые множества и функции

Определение   Функция $ g(t)$ , заданная на отрезке $ [a;b]$ , называется выпуклой (или выпуклой книзу) на этом отрезке, если для всех $ t_0,t_1\in[a;b]$ и $ {\theta}\in[0;1]$ выполняется неравенство $\displaystyle g((1-{\theta})t_0+{\theta}t_1)\leqslant (1-{\theta})g(t_0)+{\theta}g(t_1),$

Определение Пусть дана квадратная матрица $ A$ размера $ n\times n$

Пример   Линейная функция $\displaystyle l(x)=c_1x_1+c_2x_2+\ldots+c_nx_n+d,$

Теорема  Если функция $ f(x)$ выпукла в области $ {\Omega}$ , то функция $ g(x)=f^2(x)$ также выпукла в $ {\Omega}$ .

Теорема   Любая точка локального минимума функции $ f(x)$ , выпуклой в области $ {\Omega}$ , даёт наименьшее значение функции $ f$ во всей области $ {\Omega}$ ;

Касательная плоскость к графику функции

Пример   Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Пример Пусть требуется приближённо вычислить значение $\displaystyle \sqrt{0{,}98^2+2{,}03^2+1{,}96^2}.$

Примеры решения задач по теме Функции нескольких переменных и их дифференцирование

 Пример Найдём уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности (гиперболическому параболоиду)

 Пример   Найдём производные по $ x$ и $ y$ функции $ z={\varphi}(x;y)$ , неявно заданной в окрестности точки $ (2;-1;2)$ $\displaystyle x^2y+y^4z^2+xz^3=16.$ уравнением

Пример   Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=\sin(x^2y^3z^4).$

Пример   Найдём дифференциал функции $\displaystyle f(x;y)=3x^2y+x^3y^2.$

Пример  Найдём частные производные функции $ f(x;y)=\frac{\textstyle{x^2+3y^2}}{\textstyle{xy}}$ по переменным $ x$ и $ y$ .

Пример   Найдём область определения функции двух переменных $\displaystyle f(x;y)=\ln(x^2+y^2-4).$

 

 

 

 

; Вывески изготовление . От небольшой вывески до эксклюзивной конструкции.