Приложения определённого интеграла к геометрическим вычислениям

В главе об определённом интеграле мы уже видели, что для неотрицательной функции величина определённого интеграла задаёт площадь криволинейной трапеции , лежащей между отрезком оси и графиком . Рассмотрим другие геометрические приложения определённого интеграла.

Площадь области, лежащей между двумя графиками

Пример Найдём площадь ограниченной области, лежащей между графиками и .

Пример Найдём площадь ограниченной области $\mathcal{D}$ , лежащей между графиками и .

Площадь в полярных координатах

Пример Найдём площадь области, ограниченной частью спирали ( ) при и отрезком оси

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Пример Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса : , горизонтальной плоскостью и наклонной плоскостью и лежащего выше горизонтальной плоскости
Пример Пусть в плоскости рассматривается линия на отрезке .

Вычисление длины плоской линии

Пример Найдём длину отрезка параболы , лежащего между точками и .
Пример Найдём длину дуги кривой (циклоиды), заданной на плоскости параметрическими уравнениями

Площадь поверхности вращения

Пример Вычислим площадь поверхности, образованной вращением в пространстве вокруг оси части линии , расположенной над отрезком оси .
Пример Найдём площадь области, заключённой между первым и вторым витком спирали Архимеда $r=a{\varphi}$ ( ) и отрезком горизонтальной оси ${\varphi}=0$ .
Пример Найдём объём тела, ограниченного поверхностью вращения линии вокруг оси (при $0\leqslant x\leqslant 4$ ).
Пример Вычислим длину дуги линии $y=\ln\cos x$ , расположенной между прямыми и $x=\frac{\pi}{3}$ .
Пример Вычислим площадь поверхности вращения, полученной при вращении дуги циклоиды $x=t-\sin t;\ y=1-\cos t$ , при $t\in[0;2\pi]$ , вокруг оси .